гильбертовы пространства с векторами, состоящими из векторов

[Alexiii]

Здравствуйте!
Не могу понять, для чего в теории Гильбертовых пространств вводят норму векторов, координаты которых - сами векторы фиксированной размерности! Ведь Гильбертовы пространства представляют собой линейные пространства с дополнительной структурой, а как может пространство векторов над векторным пространством быть линейным? Как там вводят необходимые операции?

К примеру, была задача: найти норму $((1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(5,6,7))$

[Padawan]

Вы, наверное, имеете ввиду конструкцию прямой суммы гильбертовых пространств. Пусть $H_\nu$ - семейство гильбертовых пространств (произвольной мощности). Прямая сумма этого семейства $\bigoplus\limits_\nu H_\nu$ - это множество наборов $x=(x_\nu)$, где $x_\nu\in H_\nu$, таких, что сумма $\sum\limits_\nu \|x_\nu\|^2$ конечна (отсюда, в частности, следует, что лишь для счетного числа индексов $x_\nu\neq0$).

Скалярное произведение векторов $x,y\in\bigoplus\limits_\nu H_\nu$ определяется как

$$ (x,y)=\sum\limits_\nu (x_\nu,\,y_\nu) $$