Норма линейного оператора.

[G_Ray]

Дан оператор A:
$A:C[0,1]\rightarrow C^1[0,1]$
$Ax(t)=\int\limits^t_0 x(\tau)d\tau$

Нужно найти его норму.
Оператор линейный,
$\parallel Ax \parallel=\max\limits_{t\in[0,1]}\mid Ax(t)\mid=\max\limits_{t\in[0,1]}\mid \int\limits^t_0 x(\tau)d\tau\mid$
$\leq \max\limits_{t\in[0,1]} \int\limits^t_0 \mid x(\tau)\mid d\tau=\int\limits^1_0 \mid x(\tau)\mid d\tau$

А вот дальше сомнения начались. Надо ведь, вроде как ограничить нормой $x$ и посмотреть на константу перед ней?
В каком множестве норму считать?
P.S.
Посоветуйте еще литературу пожалуйста, где и теория и задачи.

[Padawan]

А как у Вас норма в $C^1$ задается?

Действия при вычислении нормы обычно такие
1) найти оценку $\|Ax\|\leqslant K\|x\|$. Отсюда $\|A\|\leqslant K$, т.к. $\|A\|$ - это наименьшая из таких констант.
2) показать, что можно подобрать $x$ с $\|x\|=1$ такой, что $\|Ax\|$ сколь угодно близка к $K$. Обычно можно указать $x$ даже с $\|Ax\|=K$. Отсюда $\|A\|\geqslant K$, т.к. $\|A\|$ - это супремум на единичной сфере.

[G_Ray]

Цитата:

А как у Вас норма в $C^1$ задается?

Для этого пространства будет так:
$\|x\| = \max\limits _{[0,1]} \|x'\|$?

[Padawan]

Обычно $\|x\|_1=\max|x(t)|+\max|x'(t)|$

[G_Ray]

Хм, и как тогда продолжить?

[id]

Распишите теперь эту самую норму в $C^1$ (производная от интеграла с переменным верхним пределом - ?), получите на нее сверху оценку.

А теперь возьмите, скажем, константу, убедитесь, что на ней норма достигается.

[G_Ray]

$\| Ax \|=\max\limits_{t\in[0,1]}| Ax(t)|=\max\limits_{t\in[0,1]}\mid \int\limits^t_0 x(\tau)d\tau\mid\leq \max\limits_{t\in[0,1]} \int\limits^t_0 \mid x(\tau)\mid d\tau= \max\int\limits^t_0 |x(\tau)| d\tau+\max|x(t)|\leq\int\limits^1_0 \max |x(\tau)| d\tau+\max|x(t)|=2\|x\|$
Получается такая оценка сверху?

[id]

Ну в результате-то верное, только выкладки не те. Откуда $\| Ax \|=\max\limits_{t\in[0,1]}| Ax(t)|$?

Ну а дальше возьмите константу единичку, посмотрите, какова $C^1$ норма образа.