ДУ и функция Грина

[Nitrinka]

Не могу разобратся с новой темой, никак не получается, может где то ошибку допустила?

$x^2 y'' -2y= f(x);\quad y(1)=0;\; y(2)+2y'(2)=0$

Делаю так
$x^2 G''_{xx} -2G=0$

подставляя $G=x^n$ и выписывая старшую степень получила
$n^2 -n-2=0,\quad n_1=2,\quad n_2=-1$

$G=x^2+ax+b$ не подходит
$G=1/x + b$ подходит и получаю $G=1/x$


Как быть дальше?

[Руст]

Общее решение однородного уравнения $y=ax^2+b/x$. Остается ещё найти частное решение как свёртку такого решения с f(x).

[Nitrinka]

а что такое свёртка, как она ищется? Я вот никак не пойму что нужно дальше делать Как применить условия и как отличить G которая 1<=х<s и ту G что s<x<=2?

[Руст]

Вообще можно заметить, что что уравнение имеет вид оператор Лапласа в сферических координатах. Т.е. 1/x и есть функция Грина.

[Brukvalub]

Ищете решение $y_1 (t)$ однородного уравнения, удовлетворяющее только первому краевому условию (подходит. например, $y_1 (t) = t^2 - \frac{1} {t}$) затем ищете решение $y_2 (t)$ того же уравнения для второго краевого условия (найдите его сами ) и Вы получите функцию Грина по формуле:
$G(t,s) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {ay_1 (t)\quad 1 \le t \le s} \\ {by_2 (t)\quad s \le t \le 2} \\ \end{array}} \right.$
Коэффициенты а и в Вы подберете из остальных условий в определении ф-ции Грина. Останется выписать решение краевой задачи в виде абстрактного интеграла $y(t) = \int\limits_1^2 {G(t,s)} f(s)ds.$ (ведь конкретный вид функции f(x) Вам не задан).

[Nitrinka]

Все молодцы, задача успешно решена.

P.S.
Brukvalub молодец не просто в квадрате, а по функции которая возрастает быстрее экспоненциальной зависимости. Во как!