разложение в ряд параметрически заданной функции

[trqwert]

Добрый день.
Столкнулся с такой проблемой.
Пусть у меня есть две функции: $\dot u_1(\alpha)=f_1(\alpha,\xi_1)$ и $\dot u_2(\alpha)=f_1(\alpha,\xi_2)$. Где $\dot u_1$ и $\dot u_1$ комплекснозначные функции, $\xi_1$ и $\xi_2$ комплексные постоянные, а $\alpha$ вещественная переменная. И для каждого $\alpha$ я строю зависимость $\dot u_2(\dot u_1)$.
Вроде бы всё пока вещественное. Но если я захочу найти касательную к графику функции в некоторой точке, то при взятии производной оказывается, что тангенс угла наклона касательной получается комплекснозначной функцией. Как это можно интерпретировать? И если я хочу построить уравнение касательной к графику вот такой вот функции, что мне нужно сделать с производной? Взять её модуль? Или аргумент? (Ведь по осям отложены аргументы функций...).
И ещё сразу же второй вопрос. Если я захочу разложить в ряд функцию $\dot u_2(\dot u_1)$. Это производится по стандартной процедуре, только все производные будут от параметрически заданной функции? Или есть какие-то тонкости?

[meduza]

trqwert в сообщении #287117 писал(а):

И для каждого $\alpha$ я строю зависимость $\dot u_2(\dot u_1)$.

Интересно, как вы её строите, если $\dot u_1$ и $\dot u_2$ комплексные.

[trqwert]

Извиняюсь, действительно описался. Я строю для каждого $\alpha$ зависимость аргумента первой функции от аргумента второй, т.е. зависимость $Arg[\dot u_2]$ от $Arg[\dot u_1]$, а уж они-то вещественные.

[meduza]

trqwert в сообщении #287196 писал(а):

Я строю для каждого $\alpha$ зависимость аргумента первой функции от аргумента второй, т.е. зависимость $Arg[\dot u_2]$ от $Arg[\dot u_1]$, а уж они-то вещественные.

Тогда интересно, как у вас могла получиться комплексная производная? Лучше приведите конкретно ваши функции, что вы с ними конкретно делаете, и что у вас конкретно не получается.

[trqwert]

Функция $u_1(\alpha)$ имеет следующий вид:
$u_1(\alpha)= Arg[\sum\limits_{i=-\infty}^{\infty} a_n \frac {H_n^{(2)}(\xi)}{J_n(\xi)} H_n^{(2)}(\rho) e^{i n \alpha} ]$
$u_2(\alpha)$ отличается лишь параметрами $\xi$, $a_n$ и $\rho$.
При фиксированных $\xi$ и $\rho$ для первой и второй функции строится зависимость от $\alpha$.Соответственно когда я беру производные от аргументов функций по $\alpha$ у меня ещё "выскакивает" множитель производной значения под аргументом (и в числителе и в знаменателе - это всё же параметрически заданная функция), вот собственно говоря он-то и комплексный.

[meduza]

У вас в суммочке опечатка, суммирование по $n$ наверняка идёт? (И константы, чтобы не мешались, можно было заменить $k_n=a_n \frac {H_n^{(2)}(\xi)}{J_n(\xi)} H_n^{(2)}(\rho)$.)

trqwert в сообщении #287222 писал(а):

Соответственно когда я беру производные от аргументов функций по $\alpha$ у меня ещё "выскакивает" множитель производной значения под аргументом (и в числителе и в знаменателе - это всё же параметрически заданная функция), вот собственно говоря он-то и комплексный.

Вы что-то не так делаете. Если $u_1(\alpha)$ -- действительная функция действительного переменного, то как ни дифференцируй, комплексного там ничего появится не может. $\arg$ замените арктангенсом отношения мнимой к действительной части (которые можно выделить, разложив $e^{i\,n\alpha}=\cos n\alpha + i\,\sin n\alpha$).