Тауберова теорема Харди

[Padawan]

$(a_n)_{n=1}^\infty\subset B$ -- последовательность элементов банахова пространства $B$.
Доказать, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ суммируем по Чезаро и $a_n=O(1/n)$, то этот ряд просто сходится.

В Фихтенгольце есть доказательство для обычных числовых рядов (вещественных), но там используются знаки $<,>$. Не очевидно, как их переделать. Может кто где ещё доказательство видел?

[Padawan]

Переделывается и для банаховых пространств . Напишу решение, вдруг кому пригодится или интересно (заодно поупражняюсь в $\TeX$е)

Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ суммируем по Чезаро, $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=A\;(C)$,
т.е. последовательность

$$ \alpha_1=\frac{A_1}{1},\;\alpha_2=\frac{A_1+A_2}{2},\;\ldots,\;\alpha_n=\frac{A_1+\ldots+A_n}{n},\;\ldots ,\;\quad \text{где}\quad A_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i , $$

сходится к точке $A$.

Преобразуем сумму $S=\sum\limits_{i=n+1}^{n+p} A_i$

$$ S=\sum_{i=1}^{n+p} A_i - \sum_{i=1}^n A_i=(n+p)\alpha_{n+p}-n\alpha_n=p\alpha_{n+p}+n(\alpha_{n+p}-\alpha_n)\; (\ast) $$

Так как $a_n=O(1/n)$, то существует число $C>0$ такое, что $\|a_n\|<\dfrac Cn$ для всех $n=1,2,\ldots$.

Для $n+1\leqslant i\leqslant n+p$ имеем $A_i=A_n+(a_{n+1}+\ldots+a_i)=A_n+\gamma_i$, где $\|\gamma_i\|\leqslant \|a_{n+1}\|+\ldots+\|a_{n+p}\|< \dfrac {p\,C}n$.

Суммируя по $i$, получим

$$ S=p\, A_n+\sum_{i=n+1}^{n+p}\gamma_i $$

и

$$ \|S-p\,A_n\|<\dfrac {p^2\,C}n $$

Подставив сюда $(\ast)$ и поделив на $p$, получим

$$ \|\alpha_{n+p}+\dfrac np(\alpha_{n+p}-\alpha_n)-A_n\|<\dfrac {p\,C}n $$

Для любого $\varepsilon>0$ устремим $n,p\to\infty$ причем так, чтобы $\dfrac pn\to\varepsilon/C$. Тогда, так как $\displaystile\lim\limits_{k\to\infty}\alpha_k=A$, то, начиная с некоторого номера $n$, будет выполнено

$$ \|A-A_n\|<2\varepsilon $$

Таким образом, $\dislpaystyle\lim\limits_{n\to\infty} A_n=A$, что и требовалось.