Подпрямое произведение(универсальные алгебры)

[BapuK]

Пусть $A_i, i\in \mathbb{N}$ - изоморфные друг другу алгебры, содержащие собственные одноэлментные подалгебры, и $A=\prod\limits_{i\in \mathbb{N}}A_i$, доказать что $A$ допускает разложение в прямое произведение алгебр, изоморфных $A$, не являющееся тривиальным разложением в подпрямое произведение.
Попытки построить изморфизм $\varphi:A\to\prod A$, и чтобы гомоморфизм $\varphi\pi$, где $\pi$ - естественная проекция, не являлся изоморфизмом, не увенчались успехом, понятно что нужно каким-то образом использовать существование одноэлементных подалгебр, но непонятно каким...