C5

[f_student]

Найти все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство |х + 1| + 2|х + а| > 3 - 2х.

[gris]

Для понимания постройте графики правой и левой части неравенства. Догадаетесь о решении, а потом сделаете его аналитически.

[ewert]

Можно и без графиков. Достаточно перенести всё влево и заметить, что минимальное значение в любом случае достигается при $x=-1$ или при $x=-a$ (поскольку в остальных точках функция меняется линейно). Получится система двух неравенств с модулем для $a$.

[f_student]

а как вы заметили, что это минимальное значение, не построив график? И как понимать, что в других точках функция меняется линейно?

[ewert]

f_student в сообщении #285704 писал(а):

а как вы заметили, что это минимальное значение, не построив график? И как понимать, что в других точках функция меняется линейно?

Это надо понимать так, что функция меняется линейно.

При любом конкретном значении параметра ось разбивается точками $(-1)$ и $(-a)$ на три промежутка, на каждом из которых модули раскрываются по-своему и получается линейная зависимость игрека от икса (с не очень важно какими коэффициентами на каждом). На центральном (конечном) промежутке линейная функция принимает минимальное значение на одном из концов; ну что тут поделаешь, если линейная функция монотонна. А на двух крайних (полубесконечных) заведомо функция возрастает по мере ухода на плюс-минус бесконечность; это, конечно, надо формально обосновывать, но это тривиально. Вот и всё.

[gris]

Вообще это функция (после перенесения всего в левую часть) кусочно-линейная, то есть график состоит из прямых. Кроме того, там нет горизонтальных участков, потому что... Поэтому минимумы и максимумы могут быть только на "углах", а углы возникают только там, где модуль обращается в ноль. У этой функции не больше двух углов и при достаточно больших икс она достаточно велика, поэтому у неё может быть только один минимум.
Всё же на эскизе графика эти вещи видны лучше. Но, разумеется, доказательство надо делать аналитически.
А ewert уже всё рассказал. Но я думаю, что негоризонтальность среднего участка всё-же важна.

[f_student]

вроде бы что-то дошло. Спасибо. Попробую решить.

[ewert]

gris в сообщении #285730 писал(а):

Кроме того, там нет горизонтальных участков, потому что...

Это правда, но значения всё-таки не имеет.

gris в сообщении #285730 писал(а):

а углы возникают только там, где модуль обращается в ноль.

Дело даже не в углах -- есть они или нет их -- а в стандартной процедуре раскрытия модулей. Из линейности кусочков функции уже следует, что экстремальные значения она может принимать только в точках, в которых одно подмодульных выражений обращается в ноль. А если ещё и между ними (в тех исключительных случаях, когда отрезок горизонтален), то это дела не меняет: нас ведь интересует только ординаты, а не абсциссы экстремумов.