Компактность топологического пространства

[maxmatem]

Возникла проблема при доказательстве следующей теоремы:
Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда любое его центрическое семейство замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.

Допустим ,что пространство $X$ компактно и {$F_{i}$} это центрическая система замкнутых подмножеств пространства $X$. Обозначим за $U$ семейство открытых множеств которые в свою очередь являются дополнениями к замкнутым подмножествам пространства $X$. очевидно ,что никакое конечное объединение элементов из семейства $U$ не может быть покрытием пространства $X$, в противном случаи, конечное пересечение замкнутых подмножеств пространства $X$ имело бы пустое пересечение , что противоречит определению центрированой системы пространства $X$. Но так как пространство $X$ компактно то и само $U$ не может быть покрытием пространства $X$(ПОЧЕМУ???????????), в таком случаи пересечение центрированой системы не пусто.(этот момент не совсем ясен????)

почему из компактности следует, что $U$ не может быть покрытием $X$ ?

[RIP]

maxmatem в сообщении #285531 писал(а):

почему из компактности следует, что $U$ не может быть покрытием $X$ ?

Топому что тогда из него можно было бы выбрать конечное подпокрытие.

[maxmatem]

но оно же пространство компактное значит из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, но не ясно почему же $U$, не может быть покрытие мы же только сказали что из него нельзя выделить конечное подпокрытие?

[gris]

Я понял так. Если $U$ было бы покрытием компакта, то из него можно было бы выделить конечное подпокрытие. Этому подпокрытию соответствовал бы конечный набор дополнений, замкнутых множеств из центрического семейства. Допустим, что пересечение этих множеств непусто. Тогда общая точка не принадлежит ни одному из дополнений, что противоречит тому, что мы имеем конечное покрытие. Значит, пересечение пусто. А это уже противоречит тому, что семейство центрическое. Итак, получаем, что $U$ не может быть покрытием.

[Профессор Снэйп]

Да не, ну тут же всё совсем просто. Смотрите. $\{ F_i \}_{i \in I}$ --- центрическая система. Что это значит? Это значит, что для любого $i \in I$ $F_i \neq \varnothing$ и для любых $i,j \in I$ выполнено $F_i \subseteq F_j$ или $F_j \subseteq F_i$. Пусть теперь $\bigcap_{i \in I} F_i = \varnothing$. Тогда

$$ X = X \setminus \varnothing = X \setminus \bigcap_{i \in I} F_i = \bigcup_{i \in I} (X \setminus F_i) $$

Таким образом, $\{ X \setminus F_i \}_{i \in I}$ --- открытое покрытие $X$. Из него можно выделить конечное подпокрытие $\{ X \setminus F_1, \ldots, X \setminus F_k \}$. Получаем $(X \setminus F_1) \cup \ldots \cup (X \setminus F_k) = X$. Однако $(X \setminus F_1) \cup \ldots \cup (X \setminus F_k) = X \setminus (F_1 \cap \ldots \cap F_k)$, откуда $F_1 \cap \ldots \cap F_k = \varnothing$. Так как наша система центрическая, то элементы множества $\{ F_1, \ldots, F_k \}$ можно линейно упорядочить отношением включения: $F_{i_1} \subseteq \ldots \subseteq F_{i_k}$. Отсюда $F_1 \cap \ldots \cap F_k = F_{i_1}$ и $F_{i_1} = \varnothing$. Противоречие.

[Padawan]

(Оффтоп)

Вообще-то, центрированная система.

[gris]

Система центрированная, а семейство тантрицентрическое. Для центрированных систем вложенность не обязательна. Тока непустость любого конечного пересечения. А в центрических системах обязательна вложенность.
Чтоmaxmatem имел в виду - непонятно. Но теорема про центрированные системы известна, она влечёт много остальных, например про предельную точку бесконечного множества.

[Padawan]

Из Математической Энциклопедии:

Цитата:

ЦЕНТРИРОВАННОЕ СЕМЕЙСТВО МНОЖЕСТВ —
семейство, пересечение любого конечного множества
элементов к-рого не пусто. ....

"Центрическое" нет такого понятия. По крайней мере в энциклопедии.

[Профессор Снэйп]

Ну, я просто попытался угадать значение термина

А центрированное да, понятно. Семейство, которое можно дополнить до (ультра)фильтра. Если ультрафильтр на компакте имеет (пред)базу, состоящую из замкнутых множеств, то он главный.

[maxmatem]

да я имел в виду центрированную систему

[maxmatem]

а если в данной теореме заменить слова компактность на бикомпактность, то она останется в силе?

[Виктор Викторов]

Начните с определений. Часть людей понимает под компактностью, то что П. С. Александров определяет как бикомпактность. Итак, ждём Ваших определений.

[maxmatem]

Я понимаю, что пространство называется компактным если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, и у Александрова тоже самое с бикомпактностью, а другое определение бикомпактности есть?
Кстати а какой тип компактности более узко сужает класс топологических пространств : Паракомпактность или бикомпактность?

[Виктор Викторов]

Другого определения бикомпактности нет. А компактным Александров называет: «Множество М, лежащее в метрическом пространстве Х, называется компактным в пространстве Х, если из каждой бесконечной последовательности точек множества М можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке пространства Х.» П. С. Александров «Введение в теорию множеств и общую топологию». Поэтому ответ на Ваш вопрос зависит от того какими определениями вы пользуетесь.

[maxmatem]

т.е. всякое бесконечное подмножество пространства содержит хотя бы одну предельную точку?