Теоремы ВОДОГРАЯ

[KORIOLA]

Уважаемые господа математики!
Докажите, пожалуйста, следующие теоремы:
первая теорема: все натуральные числа $N>2$ являются пифагоровыми числами;
вторая теорема: все натуральнае нечетные числа $N>1$ равны разности квадратов дух натуральных чисел.
Желаю успехов.
KORIOLA

[gris]

Пифагоровыми, вроде бы, называют тройки чисел, а не сами числа? Или имеется в виду, что для каждого натурального числа большего единицы существует пифагорова тройка, его содержащая.

Вторую теорему можно усилить: каждое нечётное натуральное число большее единицы можно представить в виде разности квадратов двух последовательных натуральных чисел. Это уж слишком просто.

Вопрос - сколько представлений в виде просто разности квадратов существует?

Например, $21=5^2-2^2=11^2-10^2$

Какой-то подвох Вы задумали.

[Батороев]

KORIOLA в сообщении #285339 писал(а):

первая теорема: все натуральные числа $N>2$ являются пифагоровыми числами;

Если имеются в виду примитивные пифагоровы тройки (все три числа взаимнопросты), то не все натуральные числа могут входить в них!

[KORIOLA]

grisy
Все натуральные числа $N>2$ являются пифагоровыми-это значит, что все эти числа входят в тройки пифагоровых чисел. Например, числу $N=105^2$ соответствует 18 пар чисел, с которыми это число образует тройки пифагоровых чисел.
Приведенные теоремы, если проявили интерес, надо доказать с помощью соответствующих уравнений алгебры, а не приводить известные примеры.
Доказательства Вы можете найти на моем сайте в Интернете.
KORIOLA

-- 06 фев 2010, 15:38 --

Ботороеву
Все без исключения натуральные числа $N>2$ (простые или составные, четные или нечетные) входят в тройки пифагоровых чисел.
KORIOLA

-- 06 фев 2010, 15:47 --

Всем
Все составные нечетные натуральные числа равны разности квадратов нескольких пар натуральных чисел.
Например, числу $N=105$ соответствует (равно разности квадратов) 6 пар натуральных чисел.
KORIOLA

[gris]

KORIOLA, я про нечётные числа имел в виду равенство $2n+1=(n+1)^2-n^2$, которое даёт по крайней мере одно решение, но подумал, что Вы хотели, чтобы доказали теорему, что так называемая функция Ширшова - количество представлений натурального числа в виде разности двух степеней натуральных чисел с натуральными показателями, с помощью которой он доказал ВТФ для случая $n=3;4;7;13$ - неограничена для любых показателей.
Что касается теоремы о пифагоровых числах, то она как раз и следует из того, что пифагорова тройка, умноженная на натуральное число, тоже является пифагоровой, а для простых чисел, которые кроме 2 нечётны, верна теорема о представлении нечётного числа в виде разности квадратов, так как квадрат нечётного числа тоже есть нечётное число. Ну и того, что $(3;4;5)$ - пифагорова тройка.
То есть по индукции, если это допускается.

[Виктор Ширшов]

gris в сообщении #286127 писал(а):

KORIOLA ... Вы хотели, чтобы доказали теорему, что так называемая функция Ширшова - количество представлений натурального числа в виде разности двух степеней натуральных чисел с натуральными показателями, с помощью которой он доказал ВТФ для случая ... - неограничена для любых показателей

gris. Всё прощаю.

[gris]

Виктор Ширшов, Вам не угодишь. Это моя мелкая месть за подержание оффтопа в моей теме.
Хорошо.
База индукции. 3 и 4 пифагоровы, так как $3^2+4^2=5^2$

Предположим, что все числа, меньшие $N$ пифагоровы.

Докажем, что $N$ пифагорово.

Если $N=2k$ чётное, то $N^2=4k^2=4(a^2\pm b^2)=(2a)^2 \pm (2b)^2$, так как $k<N$ - пифагорово.

Если $N=2k+1$ чётное, то $N^2=2(2k^2+2k)+1=(2k^2+2k+1)^2-(2k^2+2k)^2$

[12d3]

По поводу 1-й теоремы.
Если $N=2k$, то $a=k^2-1\,\,\,\,b=2k\,\,\,\,c=k^2+1$.
Если $N=2k+1$, то $a=2k+1\,\,\,\,b=2k^2+2k\,\,\,\,c=2k^2+2k+1$.

[Батороев]

KORIOLA в сообщении #286101 писал(а):

Ботороеву
Все без исключения натуральные числа $N>2$ (простые или составные, четные или нечетные) входят в тройки пифагоровых чисел.

В примитивные пифагоровы тройки не входят четные числа, не кратные $4$ ($2, 6, 10, 14...$).

gris в сообщении #285343 писал(а):

Какой-то подвох Вы задумали.

Подвоха нет. Просто человек дошел в своем изучении до представления натуральных чисел в виде разности двух квадратов и по привычке присвоил этим свойствам свое имя (или свой псевдоним).

[PAV]

Тема закрыта по причине полной тривиальности вопроса