Функан, метрические пространства

[Od1n]

Необходимо, применяя теорему Банаха о неподвижной точке, найти решение интегрального уравнения $x(t)=1+\frac{1}{2e}\int_{0}^{1} e^{st}x(s^2) ds$ в пространстве $C[0;1]$ с точностью до 0.01

-- Пт янв 29, 2010 23:07:37 --

Теперь о текущих достижениях. Первым делом необходимо показать, что у нас здесь сжимающий оператор. Метрика пространства, очевидно, $max|x_1(t)-x_2(t)|$. Начал с разности образов двух функций пространства, пришел к тому, что $|\frac{1}{2e}\int_{0}^{1}e^{st}(x_1(s^2)-x_2(s^2))ds|$. Собственно, тут первая проблема - не знаю как перейти к сравнению с разностью прообразов. Куда думать?

[ewert]

Хм. Но ведь если $y(t)=\frac{1}{2e}\int_{0}^{1} e^{st}x(s^2) ds$, то $\|y\|<\frac{1}{2e}\int_{0}^{1} e^{t}dt\cточноdot\|x\|$, причём первый сомножитель явно меньше единицы, да ещё и с солидным запасом. Разве этого не достаточно?...

---------------------------------------
а-а, нет, недостаточно (свет вырубили и лишь только что врубили). Ну тогда просто сделайте в том интеграле замену $s^2=z$ и оцените интеграл вне функции после замены по максимуму, наверняка всё сойдётся.