Площадь паралеллограмма

[invisible1]

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
$\vec a$ и $\vec b$, если $\vec a = \vec p+3\vec q$, $\vec b = \vec p -2\vec q$
$|\vec p|=2$,$|\vec q|=3$
Угол $\phi$ между векторами $\vec p$ и $\vec q$ равен $\pi/3$

Попытки решения

Пусть

$\vec a = (a_x,a_y,a_z)$

$\vec b = (b_x,b_y,b_z)$

$\vec p = (p_x,p_y,p_z)$

$\vec q = (q_x,q_y,q_z)$

$a_x=p_x+3q_x$

$a_y=p_y+3q_y$

$a_z=p_z+3q_z$

$b_x=p_x-2q_x$

$b_y=p_y-2q_y$

$b_z=p_z-2q_z$

$|\vec p|=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}=2$ *

$|\vec q|=\sqrt{q_x^2+q_y^2+q_z^2}=3$ **

$(p,q)=p_xq_x+p_yq_y+p_zq_z=|\vec p|\cdot |\vec q|\cdot \cos \phi = 2\cdot 3\cdot \dfrac{1}{2}=3$ ***

По сути площадь равна $S=|\vec c|$,
где

$\vec c = [\vec a \times \vec b]=\begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ p_x+3q_x&p_y+3q_y&p_z+3q_z\\ p_x-2q_x&p_y-2q_y&p_z-2q_z\\ \end{vmatrix} $

По сути у нас 6 неизвестных - координаты вектора $\vec p$ и координаты вектора $\vec q$.
А уравнений, их связывающих - три (*,**,***). не хватает еще 3.

Пока что пришло в голову только записать такую штуку

$$p_x^2+p_y^2+p_z^2+q_x^2+q_y^2+q_z^2+2p_xq_x+2p_yq_y+2p_zq_z=4+9+6=(p_x+q_x)^2+(p_y+q_y)^2+(p_z+q_z)^2=19$$

$$p_x^2+p_y^2+p_z^2+q_x^2+q_y^2+q_z^2-2p_xq_x-2p_yq_y-2p_zq_z=4+9-6=(p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2+(p_z-q_z)^2=7$$

[Cave]

Что-то я не понял проблему. Вы знаете, что такое векторное произведение, и знаете, что его модулю равен площади параллелограмма.
Так распишите это векторное произведение через $p$ и $q$ и вспомните, как выражается их векторное произведение через их длины и угол между ними.

[Padawan]

Как-то сложно у Вас слишком!

$S_{\vec a\vec b}=|\det \begin{vmatrix}1&3\\1&-2\\ \end{vmatrix}|\cdot S_{\vec p\vec q}$

[ewert]

invisible1 в сообщении #284281 писал(а):

Пусть

$\vec a = (a_x,a_y,a_z)$

$\vec b = (b_x,b_y,b_z)$

Никуда не годится, Вы совсем не в ту сторону думаете. О каких координатах вообще может идти речь, когда они Вам ни с какой стороны не заданы и даже и зацепиться-то не за что?!...

Просто тупо перемножьте векторно те две линейные комбинации, тупо (но аккуратно!) раскройте скобки и тупо воспользуйтесь стандартными свойствами векторного произведения.

[invisible1]

Cave в сообщении #284285 писал(а):

Что-то я не понял проблему. Вы знаете, что такое векторное произведение, и знаете, что его модулю равен площади параллелограмма.
Так распишите это векторное произведение через $p$ и $q$ и вспомните, как выражается их векторное произведение через их длины и угол между ними.

Спасибо!!!

$$\vec d = [\vec p \times \vec q]=\begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ p_x&p_y&p_z\\ q_x&q_y&q_z\\ \end{vmatrix} = \vec i \cdot \begin{vmatrix} p_y&p_z\\ q_y&q_z\\ \end{vmatrix}- \vec j \cdot \begin{vmatrix} p_x&p_z\\ q_x&q_z\\ \end{vmatrix} +\vec k \cdot \begin{vmatrix} p_y&p_z\\ q_y&q_z\\ \end{vmatrix} $$

$|\vec d|=|\vec p|\cdot |\vec q||\sin \phi|=2\cdot 3\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt3$

Единственное, что отсюда следует, так это что

$$(p_yq_z-p_zq_y)^2+(p_xq_z-p_zq_x)^2+(p_yq_z-p_zq_y)^2=27$$

Пока не очень ясно зачем это...

-- Чт янв 28, 2010 21:49:37 --

Padawan в сообщении #284291 писал(а):

Как-то сложно у Вас слишком!

$S_{\vec a\vec b}=|\det \begin{vmatrix}1&3\\1&-2\\ \end{vmatrix}|\cdot S_{\vec p\vec q}$

Спасибо о_0 Откуда только это получилось?)))

-- Чт янв 28, 2010 21:49:56 --

ewert в сообщении #284293 писал(а):

invisible1 в сообщении #284281 писал(а):

Пусть

$\vec a = (a_x,a_y,a_z)$

$\vec b = (b_x,b_y,b_z)$

Никуда не годится, Вы совсем не в ту сторону думаете. О каких координатах вообще может идти речь, когда они Вам ни с какой стороны не заданы и даже и зацепиться-то не за что?!...

Просто тупо перемножьте векторно те две линейные комбинации, тупо (но аккуратно!) раскройте скобки и тупо воспользуйтесь стандартными свойствами векторного произведения.

Сейчас сделаю!!!!!!

-- Чт янв 28, 2010 22:01:51 --

Все ясно))) Должно быть так

$$[\vec a \times \vec b]=[(\vec p+3\vec q)\times (\vec p-2\vec q)]=3[\vec p \times \vec q]-2[vec q \times \vec p]=5[\vec p \times \vec q]$$

$$abs([\vec p \times \vec q]})=|\vec p|\cdot |\vec q|\cdot \sin \phi = 3\sqrt 3$

=> $S=5\cdot 3\sqrt 3=15\sqrt 3$

-- Чт янв 28, 2010 22:25:16 --

Оказалось чуточку проще, чем мне показалось на первый взгляд)))