Бильярд

[Sasha2]

Шар ударясь от нескольких бортов, попадает из некоторой точки A в некоторую точку B.
Непонятно, как показать, что ломаная, по которой движется шар, есть ломаная наименьшей длины среди всех ломаных, соединяющих точки A и B у которых последовательные вершины лежат на последовательных бортах этого бильярда.

Для одного борта все тривиально.
Непонятно, как индукцию проводить (если вообще так можно это доказать).

[ewert]

Зачем индукция?.. Просто линия заведомо не будет оптимальной, если хоть для одного борта угол падения не равен углу отражения.

[AD]

Sasha2 в сообщении #284150 писал(а):

у которых последовательные вершины лежат на последовательных бортах этого бильярда.

Разве это верно вообще? Шарик не обязан биться по бортам строго по очереди. Если ударить параллельно бортам, то он между двумя противоположными биться будет.

Да и вообще, шарику всегда достаточно удариться всего об один бортик - это чаще всего заведомо ближе, чем биться об несколько. Так что надо формулировать условие гораздо аккуратнее - как минимум (простите за каламбур), надо говорить о локальном минимуме, а еще надежнее - об экстремуме

[passs]

Отражаем А симметрично относительно последовательных сторон бильярда, получится точка А'. Тогда длина ломаной, соединяющей точки A и B у которой последовательные вершины лежат на последовательных бортах этого бильярда, не меньше АА', а у исходной ломаной эта длина в точности равна АА'.

[Sasha2]

Ну это не видно так сразу.
Если бы мы были на занятиях по оптике, то, конечно, приняв принцип Ферма, я бы согласился с Вами.
Но в математике - нет.
Суть вообще то в том, что я понимаю, почему.
Вот если мы возьмем и построим, как Вы говорите эту оптимальную прямую, а затем пойдем обратным путем строя
1) Сперва точку симметричную последней (в которую пришел шар) относительно последнего борта ($X_N$)
2) Затем точку симметричную $X_N$ jтносительно предпоследнего борта ($X_{N-1}$)
3) И так далее. В конечном счете, соединив исходную точку A, из которой вышел шар, с точкой $B_1$.

Так получается некоторый отрезок.
Если мы теперь возьмем другую ломаную с теми же концам и с последовательными вершинами, лежащими на последовательных бортах, и снова проведем эту процедуру, то получим, что длина этой ломаной совпадет с некоторой ломаной, а концами этой ломаной будут концы все того же отрезка.

Так вот проблема чисто филологическая, я вот вижу, что это так, а сказать не могу.
Как все это выразить по человечески.

[jetyb]

Задачу можно решить графически. Пусть надо соединить ломаной точки $A$ и $B.$ Приставим к столу по бокам такие же столы. В результате получится сеточка. На добавленных столах симметрично нарисуем точки $A_n$ и $B_n$. Требуется найти ломаную минимальной длины, которая соединяет точку $A$ с некоторой точкой $B_i$ и ломается на сетке заданное число раз.

[ewert]

Давайте сначала определимся с правилами игры.

Во-первых: считаем, что "борт" -- это некоторый отрезок, от которого может отскакивать шарик (взаимное расположение этих бортов не принципиально).

Во-вторых: траекторию назовём "отражательной", если отскок от каждого борта происходит по правилу "угол падения равен углу отражения".

Тогда выплывают два разных утверждения.

(1) При любом порядке отскоков от бортов: если траектория оптимальна, то она отражательна.

(2) Для любого фиксированного порядка отражений от бортов может существовать не более одной отражательной траектории.

Утверждение (1) тривиально, т.к. неоптимальность неотражательной траектории видна на любой неотражательной паре лучей.

Утверждение (2) -- не совсем; тут, наверное, действительно нужна индукция. Но она проста. Предположим, что утверждение верно для эн минус одного борта. И предположим, что для эн бортов есть две отражательных траектории. Ну тогда отразим финишную точку относительно последнего борта и уберём этот борт -- получим две отражательных траектории для оставшихся эн минус одного борта. Противоречие.

(Да; конечно, бы убираем этот борт не физически, а лишь его последнюю копию -- ту, от которой происходит последнее отражение.)

[Sasha2]

Нет не совсем понятно.
Но мне кажется, что Вы хотели сказать то, что из начальной точки в конечную можно добраться путем последовательного отражения от всех бортов. Да это так априори. ИМЕННО ТАКИЕ ТОЛЬКО ПАРЫ НАЧАЛЬНЫХ И КОНЕЧНЫХ ТОЧЕК И РАССМАТРИВАЮТСЯ. Хотя честно говоря, построить чертеж оказывается уже даже для четырех бортов делом достаточно затруднительным. Просто предществующая точка определяется как точка пересечения прямой определяемой текущей точкой и точкой, которая симметрична со следующей. И вот часто эта прямая просто не пересекает отрезок, точнее пересечение идет не внутри, а вне его.

А вот с индукцией тут не все так просто. Дело в том, что так просто добавить один борт не удасться, ибо оптимальная траектория для числа бортов, которых на 1 меньше, вовсе не обязана быть таковой на тех же участках при добавлении еще одного борта.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #284266 писал(а):

оптимальная траектория для числа бортов, которых на 1 меньше, вовсе не обязана быть таковой на тех же участках при добавлении еще одного борта.

я не очень понимаю, о чём мы спорим, но: речь не о добавлении борта, а об удалении последнего борта посредством зеркального отражения последних лучей в каждой из исходных траекторий. Тогда каждая из тех двух разных гипотетически отражательных траекторий превратится в две разные отражательные траектории для меньшего количества бортов. Что не есть хорошо.

А почему те две "укороченные" траектории именно разные? -- а просто потому, что иначе два последних луча исходных траекторий входят и выходят из одних точек, и при этом разные. Но это же абсурд.

[Sasha2]

Дело в том, что последний борт Вы можете удалять или нет - это неважно.
Он обладает только одним свойством. На нем лежит предпоследняя вершина ломаной, которую мы сравниваем с РЕАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИЕЙ.
Тут дело в том, что вполне можно подобрать такую траекторию, что длина первых n-2 звеньев, будет как больше, так и меньше реальной. То же самое и для последних двух.
Но в сумме реальная всегда окажется короче гипотетической.

То что Вы называете зеркальное отражение - это и есть вообщем-то процедура спрямления ломаной. Вот именно она и дает увидеть то, что реальная ломаная меньше гипотетической.
Выглядит она примерно так.
1) Сперва работаем с реальной ломаной.
Берем последнюю точку (то есть ту, в которую приходит шар в самом конце) и строим ей симметричную относительно последнего борта. Далее для этой точки строим симметричную относительно предпоследнего и так далее Пока не построим в конце концов симетричную точку относительно первого борта. Назовем ее тока X Соединяем ее с исходной точкой A и получаем тем самым наше направление. Тут все пока просто. В основе лежит простое и легко доказываемое предложение. А имеено, если шар, отразившись от борта D попадает, в некоторую точку A, то при отсутствии борта D, шар прошел бы через точку, симметричную точке A относительно борта D.
Попутно показываем, что длина реальной ломаной - это и есть длина отрезка AX.

2) Далее работаем с гипотетической ломаной.
Вот тут мы и начинаем процедуру спрямления, которая и выглядит практически точно таким же макаром, как мы и строили симметричные точки для нашей реальной ломаной. Только с одним отличием. Тут мы сразу должны строить симметричные отрезки относительно бортов следующим образом. Берем последнее звено и строим ему симметричное относительно последнего борта. Далее берем два последних звена и строим их симметричные (тьфу язык ломается даже) относительно предпоследнего борта. И так далее. В, конечном счете мы должны получить некоторую ломанную, концы, которой совпадают с концами отрезка AX. Но так как это уже ломаная, а не отрезок, отсюда и заключаем, что реальная ломаная короче вот этой гипотетической.

Проблема состоит в том, чтобы это по человечески описать, так чтобы это, как говориться, и ежу стало понятно.

[ewert]

Извините, не смог заставить себя вчитаться -- шибко сложно.

Отразите точку входа (т.е. которую последнюю) относительно последнего зеркала -- и получите траекторию с меньшим количеством звеньев. Всё, для индукции этого достаточно.