Уравнение Лапласа

[Alexey1]

Дана задача решить уравнение Лапласа $u_{xx}+u_{yy}=0, u(x,0)=0, u_y(x,0)=k^{-1}sin(kx)$ методом разделения переменных, то есть $u(x,y)=X(x)Y(y), X''Y+XY''=0$, $\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=a, X''-aX=0, Y''+aY=0$. Так как $u(x,0)=X(x)Y(0)=0$, то $Y(0)=0$. А вот как быть с получением второго условия, ведь $u_y(x,0)=X(x)Y'(0)=k^{-1}sin(kx)$ является неоднородным? Да даже если бы и являлось решение получается нулевое.

[V.V.]

Попытайтесь найти решение в виде $u(x,y)=\sin(kx)Y(y)$.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #284126 писал(а):

Дана задача решить уравнение Лапласа $u_{xx}+u_{yy}=0, u(x,0)=0, u_y(x,0)=k^{-1}sin(kx)$

Не решить -- недостаточно граничных условий (не хватает условий по иксам).

Ну а если формально, т.е. если с какой-то стати вдруг приспичило искать решение именно вида $X(x)Y(y)$ и никакого иначе (это не называется методом разделения переменных!), то из второго граничного условия следует $X(x)=C^{-1}k^{-1}\sin(kx)$, где $C=Y'(0)$ -- это произвольная постоянная (она потом сократится). Подставляя в уравнение для иксов, находим $a$ (т.е. выражаем его через $k$). Тогда для игреков получается простенькая задача Коши для уравнения второго порядка. Всё корректно, но и бессмысленно.

[V.V.]

ewert в сообщении #284142 писал(а):

Тогда для игреков получается простенькая задача Коши для уравнения второго порядка. Всё корректно, но и бессмысленно.

Как раз корректности (по Адамару) и не будет.

И условий лишних как-то странно требовать: поставлена задача Коши.

[ewert]

Если извращённым образом требовать, чтоб решение распадалось именно в произведение -- то всё корректно. Непонятно лишь, кому и зачем такое решение может понадобиться.

А "задача Коши" -- корректна вовсе не всегда. Тут задача Коши для операторного дифуравнения, а оператор-то (который действующий по иксам) толком и не определён. Как раз и не хватает условий, фиксирующих его область определения. Как можно в этой ситуации вообще говорить о корректности либо некорректности, когда задача не поставлена?...

-----------------------------------------------
Пыс. Ненавижу словосочетание "метод разделения переменных"

[Alexey1]

Спасибо большое за подсказку, действительно это решает задачу.