Уравнения больших и малых кругов на сфере

[arseniiv]

Сразу скажу, что нигде я их не нашёл, а мне бы понадобились.

Допустим, наша сфера единичная и находится в начале координат (${\bf{r}}^2 = 1$). Тогда для большого круга получим: $({\bf{ri}})^2 + ({\bf{rj}})^2 = 1$, где $\bf{i}$ и $\bf{j}$ составляют ортонормированный базис плоскости, в которой круг лежит. Теперь выберем две точки на этом большом круге, $M$ и $N$, и получим из них эти векторы так: ${\bf{i}} := \overrightarrow{OM}$, ${\bf{j}} := \operatorname{sgn}\left({\overrightarrow{ON} - ({\bf{i}}\overrightarrow{ON}){\bf{i}}}\right)$. В результате для уравнения $F(\varphi,\;\theta) = 0$ у нас всё готово, но ни я, ни Mathematica не можем преобразовать полученное нормально и за хорошее время. Может, есть готовые формулы? А то мне хотелось ещё разобраться и с малыми кругами.

-- Ср янв 27, 2010 22:21:17 --

"Нормирование" вектора я обозначил $\operatorname{sgn} x$, т.к. почти то же самое, по сути: $x/\left| x \right|$

[Padawan]

Пусть точка $\mathbf{x}=(\cos\varphi\cos\vartheta,\cos\varphi\sin\vartheta,\sin\varphi )$ лежит на большом круге. Уравнение этого круга в координатах $(\varphi,\vartheta)$ можно записать в виде $(\mathbf{x},\mathbf{n})=0$, где $\mathbf{n}=[\mathbf{i},\mathbf{j}]$ - нормаль к большому кругу.

Для малых кругов получим уравнение $(\mathbf{x},\mathbf{n})=\cos\alpha$.

[arseniiv]

О! Спасибо!

[sasha_alesin]

arseniiv
Padawan
а можете это пояснить, пожалуйста?

[arseniiv]

Ну а чего тут, собственно, пояснять: любая лежащая на сфере окружность — это пересечение её с некоторой плоскостью, которую можно задать уравнением $(\mathbf x,\mathbf n) = a$ для некоторых $\mathbf n$ и $a$. Вместо плоскости можно взять конус с вершиной в центре сферы; его уравнение будет похожим и может дать некоторое дополнительное понимание ситуации.

[sasha_alesin]

arseniiv
да это я понял, (x, n) - скалярное произведение Вы так обозначаете?

[arseniiv]

Угу. А что осталось неясным?

[sasha_alesin]

arseniiv
Разве радиус-вектор точки и нормаль к большой окружности лежат не на одной прямой? Почему скалярное 0?

[arseniiv]

Нет, не на одной, т. к. имеется в виду нормаль к плоскости, содержащей окружность, а не к самой окружности в каких-то её точках (тем более что тогда она бы зависела от точки а тут она фиксирована).

[sasha_alesin]

arseniiv
Понял, спасибо :)
А какого-то общего аналитического вида, я так подозреваю, нет?

[Markiyan Hirnyk]

См. формулу (19) здесь для уравнения большого круга в сферических координатах (от $u,v$ надо перейти к $\lambda, \varphi$ по формулам (6) и (7)).

[arseniiv]

(Оффтоп)

sasha_alesin в сообщении #1267784 писал(а):

А какого-то общего аналитического вида, я так подозреваю, нет?

Если подразумевается «координатного», то это ведь от координат зависит. А тут штука была бескоординатная — мне семь лет назад почему-то нужна была именно такая, кажется. Ну, сейчас уже не помню.

[sasha_alesin]

Markiyan Hirnyk
Спасибо!