Никак не поддается интеграл, математические пакеты не помога

[impres]

Доброго времени суток форумчане.
Около недели назад ко мне попал один интеграл, и всю эту неделю я бъюсь над ним, ни как не поддается перечитал огромное кол-во литературу, поставил на уши всех друзей, без толку...
Все компьютерные программы или не берут его, или выдают бредовое уравнение с мнимой единицей., а все желающие помочь люди или разводят руками при видя его, или указывают на решение с помощью мнимой единицей, но решить не могут...
Обращаюсь к Вам с просьбой решить его, вопрос почти "жизни и смерти", Вы моя единственная надежда...
Интеграл - \int\frac{\sqrt\sin(x)}{1+\sin^2(x)}dx

[maxal]

А почему вы думаете, что он вообще берется в элементарных функциях?
Например, Mathematica на http://integrals.com выражает его через эллиптический интеграл 3-го рода - это, скорее всего, означает, что в в элементарных функциях он не берется.

[GAA]

1. Предположив, что $\cos x \ne 0$, умножим и разделим подынтегральное выражение на $\cos x$. 2. В числителе внесем $\cos x$ под знак дифференциала, а в знаменателе выразим $\cos x$ через $\sin x$. Для простоты дальше я рассматриваю случай, когда $\cos x > 0$. Другой случай можно рассмотреть параллельно. 3. Выполнив замену $\sqrt{\sin x} = t$, получим

$$J = 2 \int \frac{t^2 \, dt}{(1+t^4)\sqrt{1-t^4}}.$$

Теперь Maple 7, Maple 12 дадут

$$J= -\frac{1}{8}\ln \left( \frac{\frac{1}{2}\frac {1-t^4}{t^2}+\frac{\sqrt{1-t^4}}{t}+1}{\frac{1}{2}\frac{1-t^4}{t^2}-\frac{\sqrt{1-t^4}}{t}+1}\right) -\frac{1}{4}\arctg\left(\frac{\sqrt{1-t^4}}{t}+1\right)-\frac{1}{4}\arctg\left(\frac{\sqrt{1-t^4}}{t}-1\right)$$

(Напомню, это ответ для тех $x$, для которых $\cos x > 0$.)

[impres]

До подобного уравнения я дошел, идем дальше... При обратной подстановке получается слишком громоздкий ответ, для того чтобы уйти от тригонометрических функций я подставлял обратные функции.

[impres]

GAA, премного благодарен Вам, интеграл решен, через пару часов поеду в академию на поклон к преподавателю, надеюсь на удачный исход этой истории. Потом отпишусь, и если решено правильно - напишу полное решение тут, авось кто-нибудь будет нуждаться в нем.