Разложение в ряд комплексного 1/1-z

[lopuxov]

Почему при $|z|<1$ $\frac{1}{1-z}=\sum{z^n}$, а при $|z|>1$ $\frac{1}{1-z}=-\sum{1/z^n}$?

[jetyb]

Потому что
$\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z}{z-1}=1-\frac{1}{1-z}$

[lopuxov]

$f(z)=1-\frac{1}{1-z}=-\sum{z^n}$, т.к. $\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z(1-\frac{1}{1-z})}$, то $-\frac{1}{z f(z)}=\sum{1/z^n}$. Так?

[ewert]

Не так. И Вы нечётко вопрос поставили, и Вам соотв. не совсем в тему ответили.

Разложение по положительным степеням при маленьких зет справедливо именно потому, что они маленькие. Если же они большие, то ряд для обычной геометрической прогрессии расходится. Но зато тогда сходится ряд по отрицательным степеням ввиду уже их малости. А чтобы формально свести задачу к такому ряду, достаточно просто вынести зет в знаменателе за скобки: ${1\over 1-z}=-{1\over z}\cdot{1\over1-{1\over z}}$.