Можно ли избавиться от рекуррентности в формуле?

[sherzod_]

Народ
, есть какие идеи?

[ИСН]

Смотрите, у Вас существенная зависимость от скольких-то сотен чисел. Каждое из них можно поменять, и какие-то результаты поменяются. Можно ли формулу, чтобы от них не зависело, ага. Как же, когда оно зависит?
С числами Фибоначчи ситуация другая. Казалось бы число номер 700 зависит от всех предыдущих - вот рекуррентная формула. Но нет. Мы не можем поменять число номер 155, а остальные оставить на месте. В этой мелочи вся разница.

[sherzod_]

ИСН в сообщении #283365 писал(а):

Каждое из них можно поменять, и какие-то результаты поменяются. Можно ли формулу, чтобы от них не зависело, ага. Как же, когда оно зависит?

Уважаемый "ИСН", вы правы... Действительно, при формулировке первой части я сглупил. Очевидно, что нельзя получить нерекуррентную формулу $n$-го члена зависящую только от соответствующих элементов задающих последовательностей)) Ох уж эта невнимательность.

Но как насчет ряда.?

[maxal]

maxal в сообщении #283191 писал(а):

$$s_n = \frac{C_n - s_1m_1 - s_2m_2 - \dots - s_{n-1}m_{n-1}}{Q_n - M_{n-1}}$$

Пусть $u_n = s_n m_n$, тогда

$$u_n = \alpha_n + \beta_n (u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1}),$$

где $\alpha_n = \frac{C_n m_n}{Q_n - M_{n-1}}$ и $\beta_n = - \frac{m_n}{Q_n - M_{n-1}}.$

Пусть $U_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Тогда

$$U_n - U_{n-1} = u_n = \alpha_n + \beta_n U_{n-1}$$

или

$$U_n = \alpha_n + (1+\beta_n) U_{n-1}.$$

Решением этой рекуррентности является:

$$U_n = \alpha_n + (1+\beta_n) \alpha_{n-1} + \ldots + (1+\beta_n) (1+\beta_{n-1})\cdots (1+\beta_2) \alpha_1 + (1+\beta_n) (1+\beta_{n-1})\cdots (1+\beta_2) u_1.$$

Откуда легко находится $u_n$ и $s_n$.