Запись уравнения. Винтовая линия вокруг винтовой линии

[Macrohard]

Здравствуйте, дамы и господа.
Есть такая прикладная задача: для описания в САПР-пакете геометрии проволоки, являющейся частью стального троса, нужно составить уравнение ее задающее.

На картинке можно заметить, что пряди (пучки проволок, из которых состоит трос) имеют форму винтовой линии. Интересует описание геометрии тех проволок, из которых свиты пряди.
Если кто-нибудь знает решение задачи или может посоветовать, как получить решение, то расскажите, пожалуйста.
Заранее спасибо.

[terminator-II]

(Оффтоп)

я так думаю, что ответить много кто может. только за решение таких задачек деньги платят

[Padawan]

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #283091 писал(а):

только за решение таких задачек деньги платят

[terminator-II]

(Оффтоп)

Padawan
а, что Вы на меня глаза вытаращиваете? это не учебная задача и не научная задача. это задача с производства. за проект, в который это задача входит, человек получит деньги, а тому кто ее решит на этом форуме скажет "спасибо" и ржать будет. и правильно, так, что вперед решайте.

[Padawan]

terminator-II
"Решайте", громко сказано. Поэтому и таращу.

Macrohard
Можно так попробовать

$$\mathbf{r}(t)=\mathbf{\rho}(t)+a(\mathbf{\beta}(t)\cos{\omega t}+\mathbf{\nu}(t)\sin{\omega t})$$

,

где $\mathbf{r}(t)$ - искомая параметризация, $\mathbf{\rho}(t)$ - кривая на которую наматывается проволока, $\mathbf{\beta}$ и $\mathbf{\nu}$ её бинормаль и главная нормаль, $a$ и $\omega$ -радиус и частота обмотки.

[Macrohard]

В очередной раз приветствую всех.
Для terminator-II. Это задача не с производства. Это часть учебного проекта. Просто ранее не доводилось решать похожие задачи.
Для Padawan. Спасибо большое за Ваш ответ.

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/Slinky.html

[Macrohard]

Спасибо, Yu_K.

[VAL]

Вот, раскопал в архивах maple-code:
(Правда, для конкретных значений параметров. Так что, для перехода к другим править придется в нескольких местах)

1. with(plots):x:=cos(t);x1:=diff(x,t);x2:=diff(x1,t); 
2.  
3.                              x := cos(t) 
4.  
5.  
6.                             x1 := -sin(t) 
7.  
8.  
9.                             x2 := -cos(t) 
10.  
11. > y:=sin(t);y1:=diff(y,t);y2:=diff(y1,t); 
12.  
13.                              y := sin(t) 
14.  
15.  
16.                              y1 := cos(t) 
17.  
18.  
19.                             y2 := -sin(t) 
20.  
21. > z:=t/2;z1:=diff(z,t);z2:=diff(z1,t); 
22.  
23.                               z := 1/2 t 
24.  
25.  
26.                               z1 := 1/2 
27.  
28.  
29.                                z2 := 0 
30.  
31. > c:=1/4*sqrt(x2^2+y2^2+z2^2);b:=1/18; 
32.  
33.                                        2         2 
34.                    c := 1/4 sqrt(cos(t)  + sin(t) ) 
35.  
36.  
37.                               b := 1/18 
38.  
39. > xx:=x+b*x1+c*(x2*sin(t*18)+(y1*z2-z1*y2)*cos(t*18)); 
40.  
41.                                               2         2 
42.   xx := cos(t) - 1/18 sin(t) + 1/4 sqrt(cos(t)  + sin(t) ) 
43.  
44.         (-cos(t) sin(18 t) + 1/2 sin(t) cos(18 t)) 
45.  
46. > yy:=y+b*y1+c*(y2*sin(t*18)+(z1*x2-x1*z2)*cos(t*18)); 
47.  
48.                                               2         2 
49.   yy := sin(t) + 1/18 cos(t) + 1/4 sqrt(cos(t)  + sin(t) ) 
50.  
51.         (-sin(t) sin(18 t) - 1/2 cos(t) cos(18 t)) 
52.  
53. > zz:=z+b*z1+c*(z2*sin(t*18)+(x1*y2-y1*x2)*cos(t*18)); 
54.  
55.                                      2         2 (3/2) 
56.      zz := 1/2 t + 1/36 + 1/4 (cos(t)  + sin(t) )      cos(18 t) 
57.  
58. > spacecurve([xx,yy,zz,numpoints=500],t=0..4*Pi); 
59.  
60. > simplify(xx); 
61.  
62.                 8                 6                 4 
63.   384 cos(1/8 t)  - 768 cos(1/8 t)  + 480 cos(1/8 t) 
64.  
65.                         2                               7 
66.          - 96 cos(1/8 t)  + 3 - 96 sin(1/8 t) cos(1/8 t) 
67.  
68.                                     5                           3 
69.          + 144 sin(1/8 t) cos(1/8 t)  - 60 sin(1/8 t) cos(1/8 t) 
70.  
71.                                                               6 
72.          + 6 sin(1/8 t) cos(1/8 t) + 288 sin(1/8 t) cos(1/8 t) 
73.  
74.                                     4                            2 
75.          - 360 sin(1/8 t) cos(1/8 t)  + 108 sin(1/8 t) cos(1/8 t) 
76.  
77.          - 9/2 sin(1/8 t) 
78.  

[mama]

Очень интересный вопрос про уравнение винтовой линии вокруг винтовой. Можно задачу обобщить: Написать уравнение винтовой линии у которой осью является произвольная линия