Стeпeнной pяд. Радuус сходuмости.

[invisible1]

Радиус получился функцией...

1) Найти радиус сходимости степенного ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}=(\text{сделаем обозначение})=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$$

$R=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}={\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}:{\dfrac{(x+3)^{2n+3}}{3^{n+2}}=\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}\cdot {\dfrac{3^{n+2}}{(x+3)^{2n+3}}= \dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}\cdot {\dfrac{3^{n+1}\cdot 3}{(x+3)^{2n+1}\cdot (x+3)^{2}}=\dfrac{3}{(x+3)^{2}}$

А что делать дальше, как определить радиус сходимости, ведь это же должно быть конкретное число, а не функция... И еще, что значит черта над пределом?

[ewert]

invisible1 в сообщении #282654 писал(а):

Радиус получился функцией...

Вполне естественно, Вы ведь не знаете, что такое степенной ряд -- откуда ж Вам знать, как считают радиус сходимости:

invisible1 в сообщении #282654 писал(а):

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}=(\text{сделаем обозначение})=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$$

Какой ряд называется степенным и каковы для него стандартные обозначения?...

[Sasha2]

Для этого есть хорошая теорем Коши-Адамара.
Откройте второй том Фихтенгольца и прочитайте.

[invisible1]

Спасибо!

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{C_n(x-a)^n}$ -Степенной ряд

$R=\dfrac{C_n}{C_{n+1}}$ радиус сходимости

В нашем случае $C_n=\dfrac{1}{3^{n+1}}$

$R=\lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{1}{3^{n+1}}:\dfrac{1}{3^{n+2}}=\dfrac{1}{3}$

Получается так? А как учесть, что степень $2n+1$?)

[gris]

Чётные $c_n$ будут нулями. Просто попробуйте выписать несколько первых членов ряда.
Ищите другую формулу для радиуса сходимости.

[Sasha2]

Просто представьте общий член как $\frac{x+3}{3}\cdot\frac{((x+3)^2)^n}{3^n}$

[ewert]

invisible1 в сообщении #282668 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{C_n(x-a)^n}$ -Степенной ряд

В нашем случае $C_n=\dfrac{1}{3^{n+1}}$

Нет. У Вас показатель степени над иксом не согласован с индексом коэффициента и степенью тройки.

[Профессор Снэйп]

invisible1 в сообщении #282668 писал(а):

$R=\dfrac{C_n}{C_{n+1}}$ радиус сходимости

Там вроде через верхний предел задаётся радиус сходимости, а вовсе не через отношение коэффициентов.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #282707 писал(а):

Там вроде через верхний предел задаётся радиус сходимости, а вовсе не через отношение коэффициентов.

А это уже следующий вопрос:

invisible1 в сообщении #282654 писал(а):

И еще, что значит черта над пределом?

Так вот, черта -- это верхний предел и есть. И брать его надо в данном случае действительно от другого выражения: не "по Даламберу", а "по Коши".

[invisible1]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}$

Сделаем замену $2n+1=k$ => при $n=1$; $k=3$

$n=\dfrac{k-1}{2}$

$n+1=\dfrac{k+1}{2}$

В соответствии с заменой

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{k}}{3^{\frac{k+1}{2}}}$

$R=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{C_k}{C_{k+1}}=\lim\limits_{k \to \infty}{\dfrac{1}{3^{\frac{k+1}{2}}}:{\dfrac{1}{3^{\frac{k+2}{2}}}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{3^{\frac{k+2}{2}}}{3^{\frac{k+1}{2}}}=\lim\limits_{k \to \infty}3^{\frac{k+2}{2}-\frac{k+1}{2}}=3^{1/2}=\sqrt{3}$

[ewert]

invisible1 в сообщении #282820 писал(а):

$n=\dfrac{k-1}{2}$
. . . . . . . . . . .
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{2n+1}}{3^{n+1}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{(x+3)^{k}}{3^{\frac{k+1}{2}}}$

Неверно -- справа стоит сумма не по всем номерам, а только по нечётным. Т.е., говоря формально, это -- не стандартный степенной ряд, и к нему не применимы стандартные формулы.

Выпишите выражения для нечётных коэффициентов отдельно, а для нечётных -- отдельно. И примените другую формулу для радиуса сходимости.

[invisible1]

Ясно, спасибо))) А как до этого можно было догадаться изначально?

[ewert]

что значит "догадаться"?... -- там же откровенно и прямым текстом с самого начала стояла сумма именно только нечётных степеней, чётные же откровенно отсутствовали как класс. Условия задачи просто вынуждают рассматривать чётные коэффициенты отдельно, а нечётные -- отдельно. Если, конечно, относиться с минимальным почтением к формальному определению степенного ряда.

[invisible1]

ewert
Спасибо, это я тоже заметил изначально, но не подумал как это может сказаться на решении и что нужно следить за нечетностью

[coll3ctor]

в формуле же вроде один делить на R, а не так как у автора...