дифференциальное уравнение в частных производных

[4arodej]

Раскажите, пожалуйста, общий метод решения -- ответ не нужен. Если можно подробнее -- 5-6 ходов от условия до решения. Само решение также не обязательно -- надо метод. Уравнение такое : $yz{\frac{\partial z}{\partial x}}+x\frac{\partial z}{\partial y}=0$.

[Руст]

Поделив уравнение на 2ху получим:
$z\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=0,u=x^2,v=y^2.$
Далее, если менять зависимое переменное z и независимое переменное v, т.е. уравнение записать относительно функции v(z,u), должно получится линейное уравнение. Линейные уравнения легко решаются.

[V.V.]

Руст писал(а):

Поделив уравнение на 2ху получим:
$z\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=0.$
Далее, если менять зависимое переменное z и независимое переменное v...

Зачем? Это уравнение и так прекрасно решается.

[Юрий Косовцов]

Ваше уравнение

$y z \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y}=0 $

является квазилинейным, то есть линейным в отношении производных, первого порядка. Такие уравнения можно свести к линейным, добавляя еще одну независимую переменную, а именно $z$. Тогда решения квазилинейного уравнения

$A(x,y, z) \frac{\partial z}{\partial x} +B(x,y, z) \frac{\partial z}{\partial y}=C(x,y, z) $

в неявном виде есть

$\zeta(x,y,z)=0,$

где $\zeta(x,y,z)$ является решением линейного уравнения

$A(x,y, z) \frac{\partial \zeta}{\partial x} +B(x,y, z) \frac{\partial \zeta}{\partial y}=C(x,y, z) \frac{\partial \zeta}{\partial z} $

В Вашем случае решением соответствующего линейного уравнения является

$\zeta(x,y,z) = F1(z,-(x^2-z y^2)/z)$

откуда получается решение исходного уравнения

$-F(z)z-x^2+y^2z=0$

где $F1$ и $F$ -произвольные (дифференцируемые) функции.

[4arodej]

Юрий Косовцов писал(а):

Ваше уравнение

$y z \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y}=0 $

является квазилинейным, то есть линейным в отношении производных, первого порядка. Такие уравнения можно свести к линейным, добавляя еще одну независимую переменную, а именно $z$. Тогда решения квазилинейного уравнения

$A(x,y, z) \frac{\partial z}{\partial x} +B(x,y, z) \frac{\partial z}{\partial y}=C(x,y, z) $

в неявном виде есть

$\zeta(x,y,z)=0,$

где $\zeta(x,y,z)$ является решением линейного уравнения

$A(x,y, z) \frac{\partial \zeta}{\partial x} +B(x,y, z) \frac{\partial \zeta}{\partial y}=C(x,y, z) \frac{\partial \zeta}{\partial z} $

В Вашем случае решением соответствующего линейного уравнения является

$\zeta(x,y,z) = F1(z,-(x^2-z y^2)/z)$

откуда получается решение исходного уравнения

$-F(z)z-x^2+y^2z=0$

где $F1$ и $F$ -произвольные (дифференцируемые) функции.

А можно рассказать, как угаданы первые интегралы?

[Юрий Косовцов]

Вообще говоря, нахождение первых интегралов для линейных уравнений совсем не простая процедура, хотя существуют несколько методов, пригодных для некоторых подклассов таких уравнений. Но в Вашем случае все очень просто.

Во-первых, имеем очевидное решение

$\zeta_1(x,y,z)=F(z)$

Второе решение получается из того, что уравнение для $\zeta$ в данном случае сводится к обыкновенному ДУ

$\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y z}$

решением которого является

$y^2-\frac{x^2}{z}=C$

откуда имеем второе решение для $\zeta$

$\zeta_2(x,y,z)=y^2-\frac{x^2}{z}$

и, наконец, общее решение линейного уравнения

$\zeta(x,y,z)=F1(\zeta_1,\zeta_2)$

[4arodej]

большое спасибо всем за ценные подсказки