функция непрерывна и... доказать: |f(2004,2003)|<2004

[daogiauvang]

Функция $f(x,y)$непрерывна вместе с своими производными по $x$ и по $y$ и удовлетворяют условиям:
$f(0,0) = 0; \left |\frac {\partial f}{\partial x} \right | \leq 2004 |x - y|; \left |\frac {\partial f}{\partial y} \right | \leq 2003 |x - y|$
Докажите что, $|f(2004,2003)| \leq 2004^3$

[Padawan]

Из условия следует, что при $x=y$ $\ \ \dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {\partial f}{\partial y}=0$. Отсюда $f(2003,2003)=f(0,0)=0$. По теореме Лагранжа

$$f(2004,2003)=f(2003,2003)+\dfrac{\partial f(\xi,2003)}{\partial x}$$

, где $2003<\xi<2004$.
Отсюда $|f(2004,2003)|\leq 2004$

[daogiauvang]

а нам надо доказать меньше чем $2004^3$

[Padawan]

Тогда не знаю.Сами думайте.

[Профессор Снэйп]

Что-то я не понял юмора.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #282691 писал(а):

Что-то я не понял юмора.

Вот он:

"- Шутите! - сказала Эллочка нежно. - Это мексиканский тушкан.

- Быть этого не может. Вас обманули. Вам дали гораздо лучший мех. Это шанхайские барсы. Ну да! Барсы!"

[daogiauvang]

О чем речь идет???

[Padawan]

$2004<2004^3$. Так что из того, что я доказал, следует и то, что Вам надо.

[ewert]

(на всякий случай -- а вдруг вот именно из-за этого вдруг какие проблемы. Если мы сидим на прямой $x=y$, т.е. $x=t,\ y=t$, то ${df\over dt}={\partial f\over\partial x}\cdot x'(t)+{\partial f\over\partial y}\cdot y'(t)=f'_x+f'_y\equiv0$, на этой прямой -- по условию)