Точная верхняя грань

[Hitp]

Приведите пожалуйста док-во существования точной верхней грани у ограниченного сверху множества, без использования вложенных отрезков и свойств множеств.
Вроде бы можно как-то доказать от противного(не используя других теорем), но я нигде такого не нашел(везде использовались вложенные отрезки, множества, либо это вообще принималось за аксиому).

[Xaositect]

Это доказательство зависит от того, как в курсе вводились действительные числа.
Вот, скажем, если вводить действительные числа через сечения Дедекинда, то тут вообще все просто.

[Hitp]

сечений не изучали, док-во наподобие: В А - наибольшее а, пусть а - не в.г. и существует х из Х х>a
тогда вводим с=(x+a)/2
с<x значит с не в.г.
с>a, значит а - наибольшее - противоречие
но я не вижу что бы отсюда следовала теорема

[Xaositect]

А она оттуда и не следует, хотя бы потому, что предполагается, что в $A$ есть наибольший элемент.

Вы все-таки ответьте, как Вам вводили действительные числа, если хотите полезные ответы получить.

[Hitp]

действительные числа нам не вводили)) в учебнике теорема идет через вложенные отрезки
но вводили понятие множество верхних границ
можно ли провести док-во через них?

[ewert]

Hitp в сообщении #282440 писал(а):

но вводили понятие множество верхних границ
можно ли провести док-во через них?

Нельзя. Т.е. ничего нельзя до тех пор, пока хоть как-то действительные числа не введены.

[Xaositect]

Докаательство этой теоремы должно опираться либо на определение действительных чисел, либо на некоторые их свойства, которые считаются очевидными, напр. лемму о вложенных отрезках.

[Hitp]

числа ввели как множества
возможно ли провести док-во через лемму о сечении?

[Padawan]

Возможно была такая аксиома: если непустые $A\leq B$, $A,B\subset \mathbb{R}$, то существует точка $c\in \mathbb{R}$ такая, что $A\leq c\leq B$. Тогда можно доказать, что непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань. Для данного множества $A$ рассмотрите множество всех его верхних граней $B$ и примените эту аксиому.

[ewert]

Hitp в сообщении #282457 писал(а):

числа ввели как множества

что это значит? какие именно множества?

Это может быть некоторое аксиоматически заданное множество, причём аксиоматики могут оформляться по-разному.

Это может быть множество подмножеств, называемых сечениями.

Это может быти множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей.

Это вообще может быть бог знает что. Пока что вы ничего толком не сказали. Попытайтесь всё же сформулировать хоть что-то конкретное.

[MPogoda]

эммм... дык это, пусть $X$ --- ограниченное сверху подмножество действительных чисел.
тогда $Y$ --- множество верхних граней. По аксиоме полноты, между двумя действительными числами существует третье, т.е. $\forall x\in X \forall y\in Y (x\leqslant y) \Rightarrow \exists a (x\leqslant a\leqslant y)$. Т.к. $\forall x\in X (x \leqslant a)$ --- $a$ - верхняя грань $X$, т.е. $a\in Y$. А т.к. $\forall y\in Y (a\leqslant y)$, то $a$ - минимальная верхняя грань, или точная верхняя грань

[ewert]

MPogoda в сообщении #282493 писал(а):

По аксиоме полноты, между двумя действительными числами существует третье,

Эта "аксиома" -- вовсе не полноты, и даже не аксиома. И никаких супремумов из неё следовать,конечно, не может.

Так до сих пор и непонятно, что же конкретно у вас называлось вещественными числами.

[Xaositect]

MPogoda в сообщении #282493 писал(а):

эммм... дык это, пусть $X$ --- ограниченное сверху подмножество действительных чисел.
тогда $Y$ --- множество верхних граней. По аксиоме полноты, между двумя действительными числами существует третье, т.е. $\forall x\in X \forall y\in Y (x\leqslant y) \Rightarrow \exists a (x\leqslant a\leqslant y)$. Т.к. $\forall x\in X (x \leqslant a)$ --- $a$ - верхняя грань $X$, т.е. $a\in Y$. А т.к. $\forall y\in Y (a\leqslant y)$, то $a$ - минимальная верхняя грань, или точная верхняя грань

Вы тут чего-то напутали где-то в районе перехода от $a$, зависящего от $x$ и $y$ к какому-то непонятно откуда взявшемуся глобальному $a$.
Дело в том, что между двумя рациональными числами тоже существует рациональное, а вот теорема о существовании супремума там неверна.