Измеримые функции (эквивалентные, интегрирование)

[Cat]

Возник такой вопрос,если $f_{n}(x)$ измеримы на $E$, $f_{n}(x)\longrightarrow f(x)$ по мере $\mu$ на $E$ и $g(x)\sim f(x)$ на $E$ , то верно ли что $f_{n}(x)\longrightarrow g(x)$ по мере $\mu$ на $E$

[Руст]

Эквивалентные (отличающиеся только на мере 0) функции с точки зрения интегрирования идентичны.

[Brukvalub]

Это верно не для всех способов интегрирования (интеграл Римана таких изменений функции не прощает)

[Cat]

А с измеримостью также?

[Brukvalub]

Измеримая функция не обязательно интегрируема по Риману, для их интегрирования используется интеграл Лебега. Рекомендую прочесть , например, соответствующие главы Книги: Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа- в ней все это подробно разобрано.

[Cat]

Это я понимаю, мне инегрировать по Риману ее и не надо То есть получается, что если функции эквиваленты, то в пределе их можно заменить?

[PAV]

В пределе по мере - можно.