Сумма квадратов натуральных чисел

[undeddy]

Доброго дня,

Как можно найти сумму квадратов, скажем, первых N натуральных чисел?

[Sonic86]

Есть стандартные формулы, попробуйте поискать, наверняка найдете.
Если хотите разобраться, что к чему, попробуйте вот что сделать. Возьмите конкретный многочлен $f(n)$ небольшой степени и найдите сумму $(f(2)-f(1))+(f(3)-f(2))+...+(f(n)-f(n-1))$ двумя способами: очевидным и путем нахождения каждого слагаемого $f(k)-f(k-1)$. Подставьте и посмотрите, что получится и Вам станет понятно.
Можете посмотреть книгу Грэхем, Кнут, Паташник Конкретная математика.

[gris]

Интересно воспользоваться тем, что сумма нечётных чисел от $1$ до $2n-1$ как раз равна $n^2$. Помню, мы как-то обсуждали геометрическую иллюстрацию суммы кубов натуральных чисел http://dxdy.ru/topic25699.html

[Koftochka]

C биномом Ньютона помутить и получим такую рекурентную формулку (вроде не ошиблась):

\[\sum\limits_{k=1}^n k^m = \frac{(n+1)^{m+1}-1}{m+1} - \frac{1}{m+1}\sum\limits_{s =1}^m \left[\frac{(m+1)!}{(m-s)!(s+1)!}\sum\limits_{k=1}^n k^{m-s} \right] ,~~m \in \mathbb{N}.\[

[meduza]

В "Конкретной Математике" $\S 2.5$ именно на примере этой суммы ($\square_n$) показывают полезные приёмы суммирования.

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html