задача по однород линейными неравенствам (существ. решений)

[ELYA]

доказать что система линейных однородных неравенств имеет хотя бы одно ненулевое решение!
помогите, очнь срочно нужно!!!!Заранее спасибо!

[Руст]

Это неверно. Пример:
$x<0$, $-x<0$

[ELYA]

я знаю точно, что это можно доказать.вроде нужно доказывать при помощи теоремы Кронекера-Капелли и что систему неравенств нужно привести к равенству!

[Someone]

ELYA писал(а):

я знаю точно, что это можно доказать

В примере, который привёл Руст, система однородных линейных неравенств не имеет вообще никаких решений, даже нулевых. Это Вас не убеждает?

[Руст]

Я привёл пример, чтобы она уточняла условия. Одной из возможных условий уточнения это количество однородных неравенств не больше числа переменных. Тогда это верно.

[Руст]

Конечно, чтобы ещё, чтобы она не содержало нечто типа приведённого примера, для этого можно потребовать, чтобы определитель не равнялся бы 0.

[ELYA]

Руст писал(а):

Одной из возможных условий уточнения это количество однородных неравенств не больше числа переменных. Тогда это верно.

то есть при док-ве нужно рассмотреть несколько случаев:когда кол-во переменных(m)= кол-во уравнений(n);2) n>m и 3)m<n?

[Руст]

Ранг системы должен равняться количеству уравнений.
Конечно возможны случаи, когда система неравенств имеет решение и в случае, когда оно не выполняется, но выражать для этого случая необходимое условие существенно сложнее.

[Brukvalub]

Одно невырожденное линейное уравнение на n координат в n-мерном арифметическом пространстве задает гиперплоскость размерности n-1,которая разбивает все пространство на два полупространства, а соответствующее ему неравенство задает одно из этих полупространств. Решением системы таких неравенств будет пересечение соответствующих им полупространств. Попробуйте теперь, руководствуясь соображениями из линейной алгебры, сформулировать условия непустоты и нетривиальности такого пересечения- это и даст решение задачи.