интеграл от тригонометрических функций

[NeBotan]

Надо взять интеграл $\int \frac{dx}{\sqrt{cosx sin^3x}}$ (АКМ: Согласитесь, что так красивше: $\int \frac{dx}{\sqrt{\cos x \sin^3x}}$)

Искал через подстановку $\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\; \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\; dx=\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$
пришел к такому интегралу $\int \frac{\sqrt{1+t^2}dt}{t^{3/2}} $ и что-то дальше мысль идти отказалась. Подскажите пожалуйста, как добить пример?

Палочка перед и пробел после имени ф-ции: \sin x \cos x \ln z \arctg y и т.п.

[garin99]

$dx=\frac{dt}{1+t^2}$

[NeBotan]

спасибо. тогда все хорошо решается. я так и знал, что что-то проглядел.

[Koftochka]

Ещё лучше решается без универсальной подстановки:

\[\int\!\frac{dx}{\sqrt{\cos x\sin^3x}} = \int\!\frac{dx}{\sin^2x\sqrt{\ctg x}} = -\int\!\frac{d\bigl(\ctg x\bigl)}{\sqrt{\ctg x}} = -2\sqrt{\ctg x} + C.\[

[AKM]

По-моему, гениально...

[ewert]

Да, хорошо, но полезно всё-таки помнить и стандартную подстановку для таких случаев: $t=\tg x,\ \sin2x=\dfrac{2t}{1+t^2},\ \cos2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ (стандартную потому, что сумма степеней в знаменателе чётна и, соотв., функция просто выражается через синусы и косинусы только двойных аргументов).