Скалярное произведение матриц (симметрич. и положит. опред.)

[merlin]

Требуется доказать что скалярное произведение симметричных, положительно определенных матриц есть число положительное.
Скалярное произведение задано формулой $A:B=\sum^n_{i,j=1} a_{ij} b_{ij}$
Его же можно расписать в виде $A:B=\sum^n_{j=1}A_j B_j$ Где $A_j$ j-ый столбец.
Предлогается использовать $(QA):(QB)=(AQ^T):(BQ^T)$ где Q ортогональная матрица.
Потом имеем $A=Q^TDQ$ и $ B=R^TFR$
Далье после примениний последних свойств можно получить$A:B=DQR^T=QR^TF$
А что с этим делать дальше?

[Полосин]

Воспользуйтесь следующими соображениями:
1. Существует ортонормированный базис, в котором матрица $A$ диагональна.
2. След матрицы $B$ равен сумме ее собственных значений, а значит, положителен.

[ewert]

merlin в сообщении #281308 писал(а):

Далье после примениний последних свойств можно получить$A:B=DQR^T=QR^TF$

Ну уж этого-то никак нельзя получить со всех точек зрения (хотя бы потому, что слева число, а справа матрица).

Зато вот что можно: $QA:QB=DQ:QB=\mathop{\mathrm{Tr}}(DQ(QB)^T)=\mathop{\mathrm{Tr}}(DQBQ^T)=\mathop{\mathrm{Tr}}(DC)$, где $C=QBQ^T$ -- матрица также положительная и $D=QAQ^T$ -- диагональная положительная. Т.е. $A:B=QA:QB=\sum_kd_{kk}c_{kk}>0$ (поскольку у положительных матриц все диагональные элементы положительны).