2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство (тригонометрия)
Сообщение17.01.2010, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Я пытался доказать неравенство из темы http://dxdy.ru/topic29498.html, почему-то брошенной автором. Вот оно:

$\[x\cos x \leqslant \frac{{{\pi ^2}}}
{{16}}\]$ выполнено для любых $x \in [0,\pi/2]$

Численный анализ дает максимум на $x=0.860334$ со значением функции $0.561096$. Ну а $\pi^2/16=0.61685$. Но хотелось бы как-нибудь доказать неравенство не прибегая к численному анализу (возможно ли это?).

Доказывать пробовал очень разными способами.

Пусть $x_0$ таков, что $\[\cos {x_0} = {x_0}\sin {x_0}\]$. Сразу можно записать две оценки:

$\[x\cos x = f\left( x \right) \leqslant f\left( {{x_0}} \right) = {x_0}\cos {x_0} = \frac{{{{\cos }^2}{x_0}}}
{{\sin {x_0}}} \leqslant \frac{\pi }
{2}\frac{{{{\cos }^2}{x_0}}}
{{{x_0}}} = \left[ \begin{gathered}
  \frac{\pi }
{2}{x_0}\sin {x_0} \leqslant \frac{{{\pi ^2}}}
{4} \hfill \\
  \frac{\pi }
{2}\cos {x_0}\sin {x_0} \leqslant \frac{\pi }
{4} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$.

Вторая из этих оценок самая точная (из тех, которые у меня получались).

Еще пытался мажорировать и минорировать синус прямыми$\[y = \frac{4}
{\pi }x\frac{{\sqrt 2 }}
{2},y = \frac{3}
{\pi }x\frac{{\sqrt 3 }}
{2},y = \frac{2}
{\pi }x\]$ (так как легко проверить, что $x_0 \in (\pi/4,\pi/3)$). Но все эти оценки к результату, лучшему чем $\pi/4$ не приводят.

Еще пытался прикинуть сам $x_0$ из соответствующего уравнения, но ничего хорошего не вышло (оценка далеко не хорошая).

Может у вас есть какие-либо идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство (тригонометрия)
Сообщение17.01.2010, 14:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это должно тупо пройти при замене косинуса на первые три члена формулы Тейлора (уравнение на положение точки максимума получится биквадратным, и явно есть большой запас точности).

А вот что имелось в виду под конкретно ${\pi^2\over16}$ -- не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство (тригонометрия)
Сообщение17.01.2010, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Хм, ну да, все получается.

В одной из попыток у меня тоже было раскрытие косинуса, но я там привел некоторые другие оценки, которые не выполнились.

Спасибо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство (тригонометрия)
Сообщение17.01.2010, 15:48 


26/11/09
34
$(\frac{x+\cos{x}}{2})^2\geq{x\cos{x}}$.
Докажем $\frac{\pi^2}{16}\geq{(\frac{x+\cos{x}}{2})^2}$
или $\frac{\pi}{4}\geq{\frac{x+\cos{x}}{2}}$.
$\frac{\pi}{2}-x\geq{\cos{x}}$. График левой части лежит над графиком правой, касание в $\frac{\pi}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство (тригонометрия)
Сообщение17.01.2010, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
vmg
Блестяще! :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство (тригонометрия)
Сообщение17.01.2010, 17:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, это мне тоже пришло в голову, только позже (пока шёл на трамвай) и немного в другой форме: $\cos x<{\pi\over2}-x$, откуда $x\,\cos x<x({\pi\over2}-x)={\pi\over2}x-x^2$, откуда ...

Глупо как-то.

--------------------------------------------
Ну а раз уж всё равно глупо, то вот ещё одно дурацкое решение. Доказываем, что $\cos x\leqslant1-{4\,x^2\over\pi^2}$ (это можно). Тогда максимум выражения $x(1-{4\,x^2\over\pi^2})$ -- это ${\pi\over3\sqrt3$. Что меньше ${\pi^2\over16}$, т.к. $\pi^2>{256\over27}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group