Задача (планиметрия)

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, как решить такую задачу:
В трапецию KLMN с основаниями KN и LM вписана окружность с центром в точке О. Чему равны углы KOL и MON?
Знаю, что углы прямые,а как доказать не знаю?

От модератора AD:
Это пишется планиметрия

[ewert]

Проведите четыре радиуса в точки касания. Вместе с четырьмя сторонами тех двух углов эти отрезки разбивают трапецию на восемь прямоугольных треугольничков, причём попарно совпадающих.Рассмотрите четыре треугольничка, образующих левую половину трапеции (ну или правую, неважно).

[Marina]

Рассмотрела полученные попарно равные прямоугольные треугольники. . Но не знаю можно ли так решать эту задачу: т.к. полученные треугольники равны, то угол KOC= угол DOK, угол AOL = угол DOL, значит развернутый угол AOC = угол AOL + угол LOD + угол DOK + угол KOC = 2( угол DOL + угол DOK ) => угол DOL + угол DOK = 90?

[gris]

Можно, конечно. Чертёж очень милый
Если это задача письменного экзамена, то при окончательном оформлении решения надо строго доказать, что треугольники равны и что угол развёрнутый. Это почти очевидно, но тем не менее. К такому прекрасному чертежу должно прилагаться безупречное решение. Пунктирные линии, правда, лишние на чертеже.

[TOTAL]

gris в сообщении #281554 писал(а):

Пунктирные линии, правда, лишние на чертеже.

Сплошные $LO, KO$ и пунктиры $DC, DA$ образуют 4-угольник, у которого три угла прямые, поэтому и четвёртый угол $KOL$ тоже прямой.

[gris]

Это так. И на чертеже явно видно это решение, которое Marina просто обозначила, но не стала расписывать. Я имел в виду тактику оформления окончательного чертежа, который должен быть в письменном ответе. Хотя это, конечно, мелочи, но иногда они могут раздражать проверяющих, особенно в "пограничных" случаях.

[Marina]

Цитата:

надо строго доказать, что треугольники равны и что угол развёрнутый.

Такое объяснение будет достаточным?
Прямоугольные треугольники равны т.к. имеют общую гипотенузу (OK, OL, OM, ON) и равные катеты (KC=KD, LD=LA, MA=MB, NB=NC), образованные касательными к окружности, а также катеты (OD=OA=OB=OC) равные радиусу вписанной окружности. Отрезок AC перпендикулярен основаниям трапеции, является диаметром вписанной окружности следовательно равен 180 градусам.

[gris]

Я бы так написал.
$KD=KC$ по свойству отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки.
$OD=OC=R$ - по построению
$\angle KDO=\angle LDO= 90^{\circ}$ как угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания.
Следовательно, треугольники равны по второму признаку. Можно и по третьему, если написать, что $KO$ общая сторона. Но признака равенства по катету и гипотенузе нет (без дополнительных оговорок). Вы вовремя спохватились, дописав равенство второй пары.
То, что $AC$ диаметр надо ещё доказать.
Я это всё не к тому пишу, что бы Вас упрекнуть в неаккуратности. Наоборот, у Вас видна эта аккуратность и дотошность. Но внимание к вроде бы очевидным мелочам очень полезно. Хотя сейчас вроде бы нет былых устных экзаменов, где вполне могли засыпать и медалиста на ровном месте. Но перфекционизм в геометрии не помешает

[Marina]

Цитата:

То, что АС диаметр надо ещё доказать

Отрезок АС соединяет две точки окружности и проходит через его центр следовательно является диаметром данной окружности. Это достаточно будет для объяснения?

Цитата:

решение, которое просто обозначила, но не стала расписывать

А в данной задаче нужно расписывать всё решение подробно, или можно ограничится равенством треугольников и нахождением величины угла из суммы углов, образующих развернутый угол?

Цитата:

Но внимание к вроде бы очевидным мелочам очень полезно

Я с Вами согласна. Поэтому очень хочется научиться видеть эти очевидные мелочи, "выработать нюх" на них.

[gris]

А кто сказал, что отрезок $AC$ проходит через точку $O$? Почему $AOC$ не тупоугольный треугольник?

По поводу расписывания решения. Разумеется, в процессе подготовки не стоит подробно и аккуратно выписывать решение каждой задачи, которую Вы решаете просто для тренировки. Иногда достаточно увидеть идею решения и осознать то, что при желании Вы сможете написать решение любой степени подробности.
Но иногда, опять же для тренировки, стоит писать максимально подробные и аккуратные решения задач. Чтобы Вы могли убедиться, что Вы это умеете делать. Разбирать задачу по косточкам, находить альтернативные решения, строить чертежи в другом ракурсе (по стереометрии). Пользы от такой работы будет предостаточно.
При таком подходе Вы не пропустите ни одной мелочи.

А что Вы так привязались к этому развёрнутому углу?
Поанализируйте, например, углы трапеции $\angle K $ и $\angle L $

Или фигуру $KLAOC$

Или проведите среднюю линию трапеции (ещё одна идея, кста, и она мне больше нра )

[Sasha2]

Да можно и проще, если заметить, что центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
А сумма углов, прилежащщих к одной и той же боковой стороне равна двум прямым, так как эти два кгла являются внутренними односторонними у параллельных оснований при секущей, коей является боковая сторона.
Вот и все решение.

[gris]

И это решение Marina обозначила на своём чертеже, отметив биссектрисы углов $N$ и $M$. Вот что значит хороший чертёж!

[Marina]

Sasha2
Извените, может я спрошу прописные истины, но я не поняла:

Цитата:

центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла

Если не трудно поясните, пожалуйста.

[meduza]

Marina в сообщении #281724 писал(а):

Если не трудно поясните, пожалуйста.

Это легко доказать. Попробуйте.

[Sasha2]

Ну а что же тут непонятного. Просто проведите радиусы в точки касания и увидьте, что
1) Эти радиусы есть перпендикуляры к сторонам угла (по свойству касательных и радиусов, проведенных в точки касания)
2) Центра окружности, следовательно, отстоит на одно и том же расстояние от сторон угла, в которую эта окружность вписана.
3) Ну а далее просто вспоминаем, что геометрическое место точек, лежащих внутри угла, равноудаленных от сторон этого угла, ну и так далее. Уже все понятно.