Винтовая линия на торе и цилиндре

[Yu_K]

На цилиндре изготовленном из резины нанесена винтовая линия, имеющая целое число оборотов. Затем этот цилиндр свернули в тор, склеив его верхнее и нижнее основание (длина осевой линии тора при этом равна высоте цилиндра). Что станет с длиной винтовой линии - изменится или останется прежней? Задачка здесь http://geom.uz/?p=480.
Интерал для длины линии на торе в явном виде не вычисляется. А численно получается, что на торе длина линии отличается от длины на прямом цилиндре. Хотя вроде кажется, если бы спираль априорно была из жесткой проволоки на пов-ти резинового цилиндра - то при сворачивании цилиндра в тор ее длина не должна была бы меняться.

[ИСН]

Когда кажется, надо закрыть глаза, трижды повернуться на левой пятке и громко сказать: "Пруфлинк или не было!"
А по сути - ну... Если бы линия состояла из кусков горизонтальных колец и вертикальных отрезков, то точно бы ничего не поменялось. Ладно. Значит, разница где-то здесь. Значит, она сводится к впуклости функции $\sqrt{1+x^2}$ или какой-то в этом роде. Надо взять этот неберущийся интеграл, сложить пополам (чтобы удлиннённые участки наложились на укороченные) и сравнить с самим собой, как он был на цилиндре.

[Yu_K]

Объем не меняется, площадь пов-ти не меняется - а длина линии меняется. А где же тогда справедливость? Получается - дискриминация линейного элемента.

[Yu_K]

Винтовая линия на пов-ти цилиндра является геодезической линией в отличии от винтовой линии на пов-ти тора (с уравнениями линии, использованными выше на картинке). И видимо форма жесткой стальной цилиндрической спирали при сворачивании в круг не повторяет траектории винтовой линии на торе - форма определяется уравнениями теории упругости. Выписать систему уравнений, описывающую форму свернутой в круг стальной спирали, наверное не очень просто.