выразить многочленом линию с требуемыми свойствами

[Capella]

Одному инженеру необходимо соединить два пути: деревенскую дорогу, представленную как $x^2 - 4$, со скоростной магистралью, представленной как $-4x + 33$. О плане известно следующее: деревенская дорога лежит в интервале $ ( - \infty, 2 ] $, а подсоединение к магистрали должно произойти в точке $x=7$. Требуется выразить искомое соединение через функцию-многочлен со следующим условием: $ f(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k \cdot x^k, \phantom{0} a_k \ne 0 $. Эта функция должна иметь тангенциальный подход к обеим дорогам и быть наиболее простой.

[cepesh]

$$-\frac{2}{25}\cdot x^3+\frac{7}{25}\cdot x^2+\frac{96}{25}\cdot x-\frac{204}{25}$$

?

[Capella]

Как ты шустро решил

[Brukvalub]

Думаю, что после ввода с клавиатуры исходных данных в пакет программ для математических вычислений работа была сделана за малую долю секунды (см. тактовые частоты современных процессоров и шин)

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Думаю, что после ввода с клавиатуры исходных...

Мне просто любопытно, как Вы себе это представляете (например, ввод условия не-равенства нулю коэффициентов. Или требование "наибольшей простоты")? Мой небольшой опыт не позволяет мне сообразить, как это сделать... Приведете пример в каком-нибудь пакете?

[Brukvalub]

Я думаю, что была использована какая-либо из программ построения сплайнов, которые входят в большинство математических пакетов, но Я не являюсь экспертом в этой области, то есть могу и ошибаться. А еще Я думаю, что в случае большой заинтересованности в деталях о них лучше спросить самого автора решения.

[cepesh]

Господа, не надо усложнять. Я нарисовал график, понял, что парабола не подходит. А потом из 4х уравнений нашел коэффициенты $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

[Capella]

cepesh

Это правильное и разумное решение. В задаче указаны две точки пересечения обеих функций. Если обозначить деревенскую дорогу функцией $f(x)$, магистраль $g(x)$, а сам перешеек $h(x)$, то при тангенциальном подходе имеем следующии 4 равенства:
$f(2) = h(2), f'(2) = h'(2), g(7) = h(7), g'(7) = h'(7)$
Решая эту задачу несколько лет назад я тоже получила систему уравнений, коэффициенты которой я представляла в виде матрицы $A$. Неизвестные я представила ввиде вектора $b$. Т.к. умножая матрицу на вектор $A \cdot b = c$ я получала вектор $c$ с 4 компонентами (это были числовые решения вышенаписанных уравнений), я понимала что матрица будет 4 х 4, а ветор $b$ будет иметь 4 неизвестные, т.е степени $x^3, x^2, x^1, x^0$. Таким образом вычисляется количество неизвестных, а вслед за этим и коэффициенты.
Пользуясь тем, что известны значения как функций, так и производных возможно нахождения искомого многочлена.
Допускаю, что кто-то решит эту задачу более просто, не прибегая к матрицам.

[незваный гость]

Capella писал(а):

Требуется выразить искомое соединение через функцию-многочлен со следующим условием: $ f(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k \cdot x^k, \phantom{0} a_k \ne 0 $.

А зачем это условие? Чтобы было интересно?

Мы имеем четыре условия (по два в каждой точке касания). Отсюда логично рассматривать полином с четырьмя степенями свободы, то есть третьей степени. Если бы старшие коэффициенты оказались равны 0, мы бы имели дело с параболой или даже прямой. (Есть, конечно, подводные камушки. Если бы один из получившихся нестарших коэффициентов оказался бы равен 0, пришлось бы повышать степень полинома со всеми неприятными последствиями. Ну да ладно, камней бояться -- по морям не плавать.)