Нелинейное ДУ с параметром

[Koftochka]

Помогите, пожалуйста, разобраться с решением такого ДУ с параметром $\alpha$: \[y^3\,dy - \left(y^2 + \alpha x\right)dx = 0\[.

Начинаю решать (проверьте)

\[\begin{gathered}y^3\,dy - \left(y^2 + \alpha x\right)dx = 0 ~ \Leftrightarrow ~ y^3y' - y^2 - \alpha x = 0 ~\Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow ~ y^2\left(y^2\right)^\prime - 2y^2 - 2\alpha x = 0 ~ \Leftrightarrow ~ \left\{\begin{gathered} y^2 = xp, \hfill \\ \left(y^2\right)^\prime = p + xp' \hfill \\ \end{gathered} \right\} ~ \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow ~ xp\left(p + xp'\right) - 2xp - 2\alpha x = 0 \Leftrightarrow xpp' = 2\alpha + 2p - p^2 ~ \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow ~ \frac{dx}{x} = \frac{p\,dp}{2\alpha + 2p - p^2} ~ \Leftrightarrow ~ \ln|x| + C = \int \frac{p\,dp}{2\alpha + 2p - p^2} . \hfill \\ \end{gathered}\[

Я правильно понимаю, что теперь мне надо рассмотреть три случая (??):

\[1)~~\alpha \in \left(-\infty;\,-\frac{1}{2}\right)\[

\[2)~~\alpha = -\frac{1}{2}\[

\[3)~~\alpha \in\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)\[ ??


Можно ли как-то проще решить это уравнение??

[ShMaxG]

Koftochka
Да, надо рассмотреть все три случая. Как проще - в голову не приходит.