ТФКП: найти интеграл

[G_Ray]

Подскажите пожалуйста.
$\int\limits_{|z|=2} \frac{1}{z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1}dz$

Рассуждаю так.
Поскольку у знаменателя 6 корней, искать их мне расхотелось.
Есть теорема, что сумма вычетов функции (включая вычет в бесконечности) равна нулю.
Вычет в бесконечности, очевидно 0.

Значит, если все оставшиеся особые точки лежат внутри контура, то интеграл равен нулю.

Есть такое подозрение, что все особые точки подынтегральной функции лежат внутри данного контура. Как это проверить? (Преподаватель намекнул на теорему Руше, но я что-то не могу сообразить).

[ИСН]

Конечно, лежат: ведь это корни из единицы.

[gris]

А если дробь домножить сверху и снизу на $z-1$, то не увидим ли корни более отчётливо?

[G_Ray]

Цитата:

Конечно, лежат: ведь это корни из единицы.

Т.е. доминанта будет $z^6+1$, следовательно все корни многочлена это корень шестой степени из единицы.

Цитата:

А если дробь домножить сверху и снизу на $z-1$, то не увидим ли корни более отчётливо?

а зачем их искать, если есть замечательная теорема о сумме вычетов?

Интеграл получается равен нулю? неужели так просто все?

[nestoklon]

G_Ray в сообщении #280556 писал(а):

а зачем их искать, если есть замечательная теорема о сумме вычетов?

Наверное с тем, чтобы узнать с какой стороны от контура интегрирования они лежат?

[G_Ray]

Цитата:

Наверное с тем, чтобы узнать с какой стороны от контура интегрирования они лежат?

По теореме Руше, доминирующем будет слагаемое $z^6+1$.
Следовательно корни многочлена из знаменателя - корни уравнения $z^6=-1$
Очевидно, что они ВСЕ попадают во внутрь контура $|z|=2$.

Я думаю задача как раз на это и рассчитана. А не на поиск корней знаменателя.

[nestoklon]

G_Ray в сообщении #280565 писал(а):

По теореме Руше,

Ну, или так. Кому что проще.