Аналитическая геометрия)

[integral2009]

Есть вопросы по 3 задачам)

1) не знаю -правильно ли решил
Найти уравнение прямой, лежащей посередине между прямыми: $3x+2y-5=0$ и
$6x+4y+3=0$

Я взял 2 точки, лежащие на каждой из прямой и нашел среднее арифметическое каждой из координат
Точка $(0,2.5)$ принадлежит прямой $3x+2y-5=0$
Точка $(0,-0.75)$ принадлежит прямой $6x+4y+3=0$
Точка $(\dfrac{0+0}{2},\dfrac{2.5-0.75}{2})=(0, 7/8)$ принадлежит искомой прямой.
Можно предположить ,что искомая прямая имеет такой же направляющий вектор, как и прямая $3x+2y-5=0$
Тогда уравнение искомой прямой
$3x+2(y-7/8)=0$
$3x-2y-7/4=0$
$12x-6y-7=0$

2) Из начала координат проведены 2 взаимно перпендикулярные прямые, образующие с прямой $2x+y=6$ равнобедренный треугольник. Найти его площадь.

По идее, найдя 2 вершины треугольник - его площадь я знаю как считать. Но как их найти....Известны все три угла....

3) Найти каноническое уравнение эллипса, если его $\epsilon=3/4$ и эллипс проходит через точку $(4(2)^{\frac{1}{4}},\sqrt 14)$

$\epsilon=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=3/4$

$\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{16(y-y_0)^2}{7a^2}=1$

$7(x-x_0)^2}+16(y-y_0)^2=7a^2$

$7(4(2)^{\frac{1}{4}}-x_0)^2+16(\sqrt 14 - y_0)=7a^2$
Все бы хорошо, но координаты $(x_0,y_0)$ нам неизвестны...(((

[BapuK]

integral2009 в сообщении #279996 писал(а):

Есть вопросы по 3 задачам)

1) не знаю -правильно ли решил
Найти уравнение прямой, лежащей посередине между прямыми: $3x+2y-5=0$ и
$6x+4y+3=0$

Я взял 2 точки, лежащие на каждой из прямой и нашел среднее арифметическое каждой из координат
Точка $(0,2.5)$ принадлежит прямой $3x+2y-5=0$
Точка $(0,-0.75)$ принадлежит прямой $6x+4y+3=0$
Точка $(\dfrac{0+0}{2},\dfrac{2.5-0.75}{2})=(0, 7/8)$ принадлежит искомой прямой.
Можно предположить ,что искомая прямая имеет такой же направляющий вектор, как и прямая $3x+2y-5=0$
Тогда уравнение искомой прямой
$3x+2(y-7/8)=0$
$3x-2y-7/4=0$
$12x-6y-7=0$

какая то странная у вас арифметика, "+" меняется спокойно на "-", $2*4$ у вас $= 6$
если привести 1ое уравнение к виду $6x+4y-10=0$ то очевидно, что уравнение искомой прямой имеет вид $6x+4y+c=0$

integral2009 в сообщении #279996 писал(а):

2) Из начала координат проведены 2 взаимно перпендикулярные прямые, образующие с прямой $2x+y=6$ равнобедренный треугольник. Найти его площадь.

По идее, найдя 2 вершины треугольник - его площадь я знаю как считать. Но как их найти....Известны все три угла....

Могу предложить не самый лучший способ решения:
обозначить уравенния 2-ух прямых как $ax+by=0$(1) и $ax-by=0$(2)
точка пересечения (1) и прямой из условия -$(x_1,y_1)$, (2) и прямой из условия - $(x_2,y_2)$
и составить систему из 6-ти уравнений
1,2,3,4 уравнения находим из того что точки $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ принадлежат прямым (1) и (2) соответственно и что обе принадлежат прямой из условия
5 уравнение получить, например, из того что расстояние от начала координат до точек $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ одинаковое
6 уравнение получить из теоремы Пифагора
но все это долго и нерационально, но за решение сойдет, наверное )

integral2009 в сообщении #279996 писал(а):

3) Найти каноническое уравнение эллипса, если его $\epsilon=3/4$ и эллипс проходит через точку $(4(2)^{\frac{1}{4}},\sqrt 14)$

$\epsilon=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=3/4$

$\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{16(y-y_0)^2}{7a^2}=1$

$7(x-x_0)^2}+16(y-y_0)^2=7a^2$

$7(4(2)^{\frac{1}{4}}-x_0)^2+16(\sqrt 14 - y_0)=7a^2$
Все бы хорошо, но координаты $(x_0,y_0)$ нам неизвестны...(((

ну тут скорее всего центр эллипса - $(0,0)$, т.к. по-моему без указания центра через точку можно построить кучу эллипсов с заданным эксцентриситетом

[ewert]

integral2009 в сообщении #279996 писал(а):

2) Из начала координат проведены 2 взаимно перпендикулярные прямые, образующие с прямой $2x+y=6$ равнобедренный треугольник. Найти его площадь.

Равнобедренный и прямоугольный -- это значит с углом 45 градусов при основании. Найти его площадь -- то же самое, что найти высоту, т.е. расстояние от прямой до начала координат. А на этот счёт есть готовая формула.

[AKM]

Каноническое уравнение эллипса --- $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$. А сдвинутый эллипс уже "не каноничен".

[integral2009]

BapuK, Спасибо
1)Если учесть эту арифметику, то
$12x+8y-7=0$
2)Да, решение непростое такое..
3)Понял)

ewert, спасибо)

$h=\dfrac{6}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$

$S=2\cdot (\dfrac{6}{\sqrt{5}})^2 = \dfrac{72}{{5}}=14.4$

так?!

AKM, спасибо)

[ewert]

integral2009 в сообщении #280073 писал(а):

$h=\dfrac{6}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$

$S=2\cdot (\dfrac{6}{\sqrt{5}})^2 = \dfrac{72}{{5}}=14.4$

так?!

ну почти; только какова, говорите, формула для площади треугольника?...

[AKM]

Мне по беглому взгляду не понравилось решение и обоснование по первой задаче: не всякие две точки можно "усреднять", чтоб получить биссектрису. Да и получиться их должно две. Но пока не могу себе позволить углубиться в тему.

[integral2009]

ewert в сообщении #280081 писал(а):

integral2009 в сообщении #280073 писал(а):

$h=\dfrac{6}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$

$S=2\cdot (\dfrac{6}{\sqrt{5}})^2 = \dfrac{72}{{5}}=14.4$

так?!

ну почти; только какова, говорите, формула для площади треугольника?...

Там получается два прямоугольных треугольника с одинаковой площадью...Площадь каждого - это произведение катетов, которые равны...

[ewert]

AKM в сообщении #280082 писал(а):

Мне по беглому взгляду не понравилось решение и обоснование по первой задаче: не всякие две точки можно "усреднять", чтоб получить биссектрису.

Там не биссектриса -- прямые-то параллельны. Так что всё нормально.

-- Ср янв 13, 2010 13:33:38 --

integral2009 в сообщении #280086 писал(а):

...Площадь каждого - это произведение катетов,

... а на самом деле?...

[integral2009]

Аа, точно) половине произведения катетов) туплю(

[BapuK]

integral2009 в сообщении #280089 писал(а):

Аа, точно) половине произведения катетов) туплю(

а то что вы нашли только высоту к гипотенузе и возводите ее в квадрат, вас не смущает?

[integral2009]

Не смущает) Половина этой гипотенузы является катетом для другого треугольника) См что до этого написано)