момент инерции сферы

[smile]

никак не могу понять, в каком месте ошибаюсь. хочу найти момент инерции сферы радиуса R относительно оси $Oz$. считаю следующим образом: разбиваю поверхность сферы на тонкие цилиндры радиуса $\sqrt{R^{2} - z^{2}$ и высоты $dz$, итого площадь боковой поверхности каждого такого цилиндра выходит равна $2 \pi \sqrt{R^{2} - z^{2}}dz$, так что $dm = \frac{m}{4 \pi R^{2}} * 2 \pi \sqrt{R^{2} - z^{2}}dz = \frac{m\sqrt{R^{2} - z^{2}}}{2R^{2}}dz$
$I_{z} = \int\limits_{-R}^{R}(R^{2} - z^{2})* \frac{m\sqrt{R^{2} - z^{2}}}{2R^{2}}dz = \frac{m}{2R^{2}}\int\limits_{-R}^{R}(R^{2} - z^{2})^{3/2}dz = \frac{m}{2R^{2}}\frac{R^{4}}{2}B(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$, так что $I_{z} = \frac{3 \pi R^{2}m}{16} $, что на правду непохоже. в чем здесь дело?

[ewert]

лично я не знаю (ибо лень). Но: не надо разбивать, а надо тупо выписать соответствующий поверхностный интеграл, т.е. $\int_{-R}^{R}z^2\cdot2\pi z\,\sqrt{1+{z'}^2}\,dx$, где $z(x)=\sqrt{R^2-x^2}$. Ну и потом просто разделить на площадь сферы и умножить на массу.

[smile]

у меня поверхностные интегралы в следующем семестре, к сожалению, так что приходится доисторическими методами

[ewert]

ну, тогда Вы явно запутались в корнях. И даже могу сказать в каких: сфера разбивается не на цилиндрические слои, а на конические, площадь которых попросту пропорциональна $dz$.