Задача на неравенство Чебышева

[MOEVM]

Помогаю другу с эконома (ну поняли)))), сам ещё не проходил тервер, пытаюсь вкурить, задача как видно типовая

Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц с высшим экономическим образованием, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты лиц с высшим экономическим образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не превышало по модулю 0,05.


нашел на форуме ВМиК МГУ решение такой же задачки с другими цифирками
http://www2.cmc-online.ru/forum/study/? ... w&msg=4229

Подставил свои числа
А если рассуждать так
Применим теорему Бернулли для относительных частот
и $\epsilon=0,05$ c любым типом распределения
$P(| m/n - p | < 0.05 ) = 0.9>1-pq/n(\epsilon)^2$
и после преобразований получим
$n>pq/({\epsilon}^2(1-0,9))$ <- у меня здесь получается знак меньше
Учитывая, что максимум величины $pq$ не более 1 и
$q=1-p$
получаем верхнюю оценку для n
$n>1/(0,1(0,05)^2)= 4000$

подскажите, что тут и как?!

[faruk]

MOEVM в сообщении #279861 писал(а):

Учитывая, что максимум величины $pq$ не более 1

$pq = p(1-p) \leq 0,25$


Исходя из известного распределения (в данном случае - биномиальное), объем выборки можно вычислить более точно.

$n \geq \displaystyle\left(\frac{z}{\epsilon}\right)^2 p(1-p)$

$\epsilon = 0,05$
$z = z(0,95) = 1,645$


Если требуется сделать грубую оценку с помощью неравенства Чебышёва

$P\left(|X-\mu|\geq a\right) \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{a^2}$

$a = \epsilon n$

$\sigma^2 = npq$

$0,1 \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{a^2}$

$0,1 \leq \displaystyle\frac{npq}{\epsilon^2 n^2}$

$n \leq \displaystyle\frac{pq}{0,1\epsilon^2}$