2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 18:36 


12/01/10
7
Требуется построить пример функции, монотонной и ограниченной на отрезке, имеющей на нем бесконечное число разрывов.

Пока что мне кажется, что это невозможно, потому что бесконечное число разрывов требует бесконечной малости скачка на каждом из них, т. е. никаких разрывов и нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:02 
Заблокирован


19/06/09

386
Можно взять такие разрывы, чтобы приращения на них образовывали абсолбтно сходящийся ряд. Например, определим функцию так:
0 на $[0;\frac{1}{2})$
$\frac{1}{2}$ на $[\frac{1}{2};\frac{3}{4})$
$\frac{3}{4}$ на $[\frac{3}{4};\frac{7}{8})$
$\frac{7}{8}$ на $[\frac{7}{8};\frac{15}{16})$
и т.д.

Непрерывность в каждой точке интервала легко проверяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Монотонная функция может иметь не более, чем счётное число разрывов. Может быть Вы это имели в виду?

Прекрасна монотонная функция, разрывная в каждой рациональной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:15 


12/01/10
7
Вероятно. Просто у нас не было понятия счетного множества и все такое) поэтому такие примеры в голову не приходят...

-- Вт янв 12, 2010 19:16:09 --

gris в сообщении #279821 писал(а):
Прекрасна монотонная функция, разрывная в каждой рациональной точке.

А такой пример можно придумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Можно. Если идею jetybа распространить на все рациональные числа отрезка некоторым образом. Пример известный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:29 


12/01/10
7
Пример с разрывами во всех рац. точках я конечно знаю. Но ведь рациональные числа отрезка - это не счётное множество, а значит монотонной функции такого рода не придумать. Или я снова неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:31 


05/01/10
18
Это вы часом не о ф-и Римана?

-- Вт янв 12, 2010 19:32:59 --

blackmail1807 в сообщении #279834 писал(а):
Пример с разрывами во всех рац. точках я конечно знаю. Но ведь рациональные числа отрезка - это не счётное множество, а значит монотонной функции такого рода не придумать. Или я снова неправ?

А, по-моему, тоже счётное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
blackmail1807, а если Вы знаете, то чего же спрашивали? :) Рациональных точек на отрезке как раз бесконечное множество (уж не будем о счётности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:39 


12/01/10
7
Извиняюсь, рациональное множество действительно счетное) Функция Римана очевидно не монотонная, но если множество счетное, то механизм построения ответа вроде понятен (как у jetyb).
Тогда спасибо всем огромное! :D

-- Вт янв 12, 2010 19:40:35 --

gris в сообщении #279841 писал(а):
blackmail1807, а если Вы знаете, то чего же спрашивали? :) Рациональных точек на отрезке как раз бесконечное множество (уж не будем о счётности)

Риман же не монотонный)

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
А, ну да, Вы о произвольной функции.
Всё-же обрадую Вас - рациональных точек на всей оси счётное множество.

Функция Римана не монотонная. Но можно постоить монотонную.

Можно взять сходящуюся геометрическую последовательность и перенумеровать её члены. И перенумеровать все рациональные числа на отрезке. А потом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов
Сообщение12.01.2010, 19:44 


12/01/10
7
Да, я уже понял, спасибо!)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group