ТФКП (тип особой точки)

[Pifi]

Не могли ли проверить

Определить тип особой точки $z=0$ для функции $\frac{e^{9z}-1}{\sin z-z+\frac{z^3}{6}}.$


$\lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{e^{9z}-1}{\sin z-z+\frac{z^3}{6}}=\lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1 + \frac{9z}{1!} + \frac{(9z)^2 }{2!} +\frac{(9z)^3 }{3!} ... -1}{z - \frac{z^3 }{3!} + \frac{z^5 }{5!}-\frac{z^7 }{7!}+\frac{z^9 }{9!}-...-z+\frac{z^3}{6}}=\lim\limits_{z\rightarrow }\frac{ \frac{9z}{1!} + \frac{(9z)^2 }{2!} + \frac{(9z)^3 }{3!} ...} {\frac{z^5 }{5!}-\frac{z^7 }{7!}+\frac{z^9 }{9!}-...}=$

$=\lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{z\left(\frac{9}{1!} + \frac{9^2 z}{2!} + \frac{9^3(z)^2 }{3!} ... \right)}{z^5 \left(\frac{1 }{5!}-\frac{z^2 }{7!}+\frac{z^4}{9!}-...\right)}=\lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1}{z^4 }=\infty.$

Следовательно, точка $z=0$ является полюсом порядка 4.

[ShMaxG]

Вообще, из того, что $\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{{e^{9z}} - 1}} {{\sin z - z + \frac{{{z^3}}} {6}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{1} {{{z^4}}} = \infty \]$ следует лишь, что эта точка - полюс. А вот чтобы утверждать, что это полюс именно 4-го порядка, можно просто обнаружить $\[\frac{{{e^{9z}} - 1}} {{\sin z - z + \frac{{{z^3}}} {6}}} \sim \frac{1} {{{z^4}}},z \to 0\]$.

[ewert]

Ну является, естественно. Знаменатель ведёт себя откровенно как зэт в пятой, в то время как числитель -- не менее откровенно как зэт в первой.

[Pifi]

А как это правильно записать, что полюс четвертого порядка?

-- Пн янв 11, 2010 21:59:42 --

т.е. к вычислению предела еще добавить $\[\frac{{{e^{9z}} - 1}} {{\sin z - z + \frac{{{z^3}}} {6}}} \sim \frac{1} {{{z^4}}},z \to 0\]$?

[ShMaxG]

Ну я бы с самого начала писал: $\[\frac{{{e^{9z}} - 1}} {{\sin z - z + \frac{{{z^3}}} {6}}} \sim \frac{{1 + 9z - 1}} {{z - \frac{{{z^3}}} {6} + \frac{{{z^5}}} {{5!}} - z + \frac{{{z^3}}} {6}}} = \frac{{9z}} {{{z^5}/5!}} \sim \frac{1} {{{z^4}}} \to \infty ,z \to 0\]$. И все.

[ewert]

Вообще-то в приличных домах Парижа и Лондона должны подавать теорему: порядок полюса есть кратность нуля в знаменателе минус кратность нуля в числителе (если первое больше второго, конечно).