Неравенство с киевской олимпиады

[BanmaN]

Здравствуйте.

$a,b,c>0$, $abc\ge 1$
$(a+1/(1+a))(b+1/(1+b))(c+1/(1+c))\ge 27/8$.
C теми же условиями:
$27(a^3+a^2+a+1)(b^3+b^2+b+1)(c^3+c^2+c+1)\ge 64(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$

Спасибо.

[passs]

А после $abc\geqslant 1$ не нужно запятой?

[Sasha2]

Первое неравенство
Представим левую часть исходного неравенства
$(a+\frac{1}{1+a})(b+\frac{1}{1+b})(c+\frac{1}{1+c})$ в следующем виде
$(a+\frac{1}{1+a})(b+\frac{1}{1+b})(c+\frac{1}{1+c})=(1+\frac{a^2}{1+a})(1+\frac{b^2}{1+b})(1+\frac{c^2}{1+c})$

И теперь запишем эквивалентное ему неравенство
$\frac{1}{(1+\frac{a^2}{1+a})(1+\frac{b^2}{1+b})(1+\frac{c^2}{1+c})}\leq{\frac{8}{27}}$

Далее используя соотношение между средним геометрическим и средним арифметическим для трех чисел прихоодим, что том, что данное неравенство эквивалентно следующему:
$\frac{1}{1+\frac{a^2}{a+1}}+\frac{1}{1+\frac{b^2}{b+1}}+\frac{1}{1+\frac{c^2}{c+1}}\leq{2}$ при $abc\geq{1}$

Последнее неравенство мне пока доказать не удалось. Честно говоря даже не знаю, даст ли этот путь нужный результат.

[Sasha2]

Дальше, если, не утруждая себя особо, какими либо изысками, просто переписать последнее неравенство в виде
$\frac{a+1}{a^2+a+1}+\frac{b+1}{b^2+b+1}+\frac{c+1}{c^2+c+1}\leq{2}$
И аккуратненько свести все дроби к одному знаменателю, после чего приведя подобные (лучше всего делать это прям в скобках, сокращая сразу на одинаковые куски), получим окончательно, что данное неравенство эквивалентно следующему:
$abc+(ab+bc+ac)+a+b+c+1\leq{2(abc)^2+(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+abc(ab+bc+ac)$.
Здесь очевидно, что (поскольку $abc\geq{1}$) члены $abc+1$ из левой части гасятся членом $2(abc)^2$ из правой части.
Снова по той же причине член $ab+bc+ac$ из левой части гасится членом $abc(ab+bc+ac)$ из правой части.
И остается показать, что $a+b+c\leq{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$. И это тоже тривиальная задача при данных условиях. Для этого просто используем два очевидных неравенства:
1) $3(a+b+c)(abc)\leq{(ab+bc+ac)^2}$
2) $(ab+bc+ac)^2\leq{3(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}$

Вот теперь первое неравенство можно считать полностью доказанным.

[Sasha2]

Второе неравенство, если его переписать в виде
$(a+\frac{1}{a^2+a+1})(b+\frac{1}{b^2+b+1})(c+\frac{1}{c^2+c+1})\geq\frac{64}{27}$
доказывается аналогично. Выклаток чуток побольше но схема рассуждений та же.