Корни многочлена. Теорема Безу.

[AliSteR]

Люди помогите! нет литературы , объясните в краткости с примером кому не сложно ;(((

-- 11 янв 2010, 07:32 --

=(((((( помогите

[meduza]

С самой теоремой? Так она проще некуда. Остаток от деления многочлена $f(x)$ на $(x-a)$ равен $f(a)$. Всё. Доказывается тоже элементарно. Наиболее интересно ее применение, когда $a$ -- корень многочлена, тогда $f(a)=0$ и $f(x)$ делится на $(x-a)$ без остатка. Напр. $f(x)=x^2-3x+2=0$, один его корень -- $x=1$, делим, получаем $f(x)=(x-1)(x-2)$.

[AKM]

Ленивые студенты в таких случаях лазют в Википедию. Я, конечно, понимаю, что Вы не ленивый, но воспользуйтесь их методом...

Ленивый студент бы писал(а):

А неленивые модераторы дают ссылку конкретно!

-- Вс янв 10, 2010 23:39:59 --

Впрочем, какая Википедия сравнится с простыми и ясными пояснениями участников нашего форума!
Дезавуирую свой Вики-совет...

[AliSteR]

понял разобрал спасибо

[olegras]

Привет всем.
Я конечно дико извиняюсь, но все таки с теоремой Безу мне не все понятно.
Например для $f(x) = x^2 + x$ и $a = 5$ имеем $f(5) = 5^2 + 5 = 30$
значит остаток от деления $(x^2 + x)/(x-5)$ должен быть $r = 30$?
Пробуем делить.
При x=6, 7 или 8 получаем r = 0 (делится без остатка).
При x = 9 получаем r = 2 но никак не 30...
Или я чего-то недопонял? Или теорема имеет ограничения?

[Gortaur]

Здесь имеется ввиду не остаток в смысле теории чисел. Смотрите, что такое остаток?

$$ f(x) = g(x)(x-a)+r $$

где $g(x)$ - некоторый другой многочлен.
Тогда если $x=a$, то

$$ f(a) = g(a)\cdot 0 +r. $$

Очевидно, что всегда можно получить в остатке константу - потому что если останется скажем линейный многочлен, скажем

$$ f(x) = G(x)(x-a)+kx+b $$

то взяв $g(x) = G(x)+k$ получим

$$ f(x) = (G(x)+k)(x-a)+(b+ka) $$

и остаток как раз $b+ka$ - константа.

[olegras]

А можно то же самое применительно к моему примеру?
$(x^2 + x)/(x-5)$. Какой таки остаток?

Например при $(x^3 - 3x^2 + 6x - 5)/(x-2)$ остаток получается такой же как и в смысле теории чисел, теорема "работает" наглядно.

[Алексей К.]

Решаем устно:

$$\frac{x^2+x}{x-5}=\frac{x^2-5x+5x+x}{x-5}=\frac{x(x-5)+6x-30+30}{x-5}=\frac{x(x-5)+6(x-5)+30}{x-5}=x+6+\frac{30}{x-5}.$$

$$x^2+x=(x+6)(x-5)+30$$

[Gortaur]

olegras в сообщении #393708 писал(а):

А можно то же самое применительно к моему примеру?
$(x^2 + x)/(x-5)$. Какой таки остаток?

Например при $(x^3 - 3x^2 + 6x - 5)/(x-2)$ остаток получается такой же как и в смысле теории чисел, теорема "работает" наглядно.

Быстро Вы проверили все целые числа

[olegras]

Алексей К. в сообщении #393714 писал(а):

Решаем устно:

$$\frac{x^2+x}{x-5}=\frac{x^2-5x+5x+x}{x-5}=\frac{x(x-5)+6x-30+30}{x-5}=\frac{x(x-5)+6(x-5)+30}{x-5}=x+6+\frac{30}{x-5}.$$

$$x^2+x=(x+6)(x-5)+30$$

Теперь разобрался, спасибо.