Задачи Коши

[Koftochka]

Помогите, пожалуйста, разобраться с этой задачей:

\[y'' = 18\sin ^3y\,\cos y,~~y(1) = \frac{\pi}{2},~y'(1) = 3.\[

Начинаю решать, вроде бы , правильно:

\[\begin{gathered}y'' = 18\sin^3y \cos y \, \Leftrightarrow \, \left\{\begin{gathered}y' = p, \hfill \\y'' = p'p \hfill \\ \end{gathered}\right\} \, \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \, p'p = 18\sin ^3y \cos y \, \Leftrightarrow \, \int p\,dp = 18\int \sin ^3y \cos y\,dy \, \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \, \frac{p^2}{2} = \frac{9}{2}\,\sin^4y + C_1 \, \Leftrightarrow \, \left(y'\right)^2 = 9\sin ^4y + C_1 \, \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \, y' = \pm \sqrt{9\sin^4y + C_1} \, \Leftrightarrow \, x = \pm \int \frac{dy}{\sqrt {9\sin^4y + C_1}} . \hfill \\ \end{gathered}\[

В результате получила явно неберущейся интеграл, и что теперь делать??

Заранее спасибо!

-- Вс янв 10, 2010 22:33:41 --

Или как-то по другому надо было изначально делать??

[Gafield]

В учебной задаче может совершенно случайно оказаться, что краевым условиям удовлетворяет решение с $C_1=0$ или что-нибудь в этом роде

[ewert]

Имелось в виду следующее. Раз уж задача Коши, то как только дошли до

Koftochka в сообщении #279390 писал(а):

$y' = \pm \sqrt{9\sin^4y + C_1}$

-- следует немедленно найти константу (а заодно, кстати, и разобраться с плюс-минусом), используя начальные условия.

[Koftochka]

А поконкретней?

А то не доганяю как найти эту константу.

Должно быть $C_1 = 0$?

[ewert]

Koftochka в сообщении #279482 писал(а):

А то не доганяю как найти эту константу.

(утешительно) Не Вы одна, многие так делают.

Просто перепишите начальные условия в симметричной форме:
$x=1\ \leftrightarrow\ y={\pi\over2}\ \leftrightarrow\ y'=3$.

[Koftochka]

Спасибо!

Такой ответ $y = \arcctg\bigl(1-3x\bigl)$ ??

[ewert]

Вторая константа найдена неверно.

[Koftochka]

Так $y = \arcctg\bigl(3-3x\bigl)$ правильно, т.е. $C_2=3$ ??

[ewert]

Так правильно.

[Koftochka]

Я же, вроде бы, потеряла ещё одно решение: $y=\arcctg(3x-3)$. А Вы молчите))

Т.е. ответ такой: $y_1=\arcctg(3x-3),~y_2=\arcctg(3-3x)$ ??

[ewert]

Koftochka в сообщении #280268 писал(а):

Я же, вроде бы, потеряла ещё одно решение: $y=\arcctg(3x-3)$. А Вы молчите))

Нет, не потеряли (в том смысле, что потеряли, но -- отсутствие потери). См.:

ewert в сообщении #279475 писал(а):

(а заодно, кстати, и разобраться с плюс-минусом)

[Koftochka]

Большое спасибо!
Наконец полностью разобралась.