Минимальный отрезок через точку внутри угла

[WebMag]

Две взаимно перпендикулярные дороги делят террию на 4 части, в одной из которых расположено здание фабрики на расстоянии 1 км от каждой из этих дорог. Минуя перекресток, нодо проложить прямолинейный путь минимальной протяженности, соединяющий фабрику с каждой из пересекающихся дорог. Определите длину этого пути.
Заранее спасибо.

Вам строгое замечание за неинформативный заголовок.
Dan_Te

[bot]

В такой постановке минимума не существует - для начала отменим запрет и проведём дорогу на перекрёсток. Получаем (легко показать) наименьшее из возможных расстояние, равное $\sqrt{2}$. А теперь поворачиваем этот отрезок на сколь угодно малый угол и получаем больший отрезок, с длиной сколь угодно близкой к $\sqrt{2}$.

По-видимому имелась в виду другая задача - через заданную точку внутри прямого угла провести отрезок минимальной длины с концами на сторонах угла.

[sexstant]

Читайте внимательно условия
2\sqrt(2)

[Someone]

sexstant писал(а):

Читайте внимательно условия :)
2\sqrt(2)

bot прав. Задача в том виде, как она сформулировани, не имеет решения: наименьшую длину имеет отрезок, соединяющий заданную точку с перекрётском, но он запрещён. Выбирая отрезок, проходящий достаточно близко к перекрёстку, получим величину, чуть большую \sqrt{2}, а сам минимум недостижим. Нужно некоторое уточнение, например, такое, которое указал bot, или запретить отрезку пересекать дороги, чтобы он на них оканчивался. Но это эквивалентно тому, что сказал bot.

[Руст]

Все правы. Имеется два минимума абсолютный и локальный. Условие можно интерпретировать и так, что надо брать минимум отличный от абсолютного. Тогда прав sexstant.

[bot]

Сомнительно, чтобы здесь была задача на уровне терминологической разницы между "минимальный" и "наименьший". Это бы означало такую постановку: найти локальный минимум, отличный от запрещённого.
В исправленном варианте (другой вариант исправления - точка должна быть внутри искомого отрезка, а не вне его) геометрически всё очевидно - достаточно построить прямоугольник, в котором искомый отрезок является диагональю и рассмотреть другую диагональ: она очевидно не меньше $2\sqrt{2}$ и реализуется только если этот прямоугольник есть квадрат.

В общей постановке, если точка $(a, b)$ внутри прямого угла произвольна, то построение искомого отрезка с помощью циркуля и линейки невозможно, точнее возможно тогда и только тогда, когда $\frac{b}{a}$ является кубом рационального числа ($- \frac{b}{a}$ - это куб углового коэффициента искомого отрезка).
Сама же наименьшая длина искомого отрезка выглядит так: $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$