Конечномерные пространства в бесконечномерных нигде не плотн

[twisty]

Объясните пожалуйста, почему конечномерное подпространство бесконечномерного нормированного пространства является нигде не плотным.

[id]

Потому что расстояние до него от любой точки, ему не принадлежащей, больше нуля.

Это, в свою очередь, получается из тех соображений, что пересечение шарика с конечномерным подпространством компактно, а метрика/норма - функции непрерывные.