Вычислить функцию,используя формулу Лейбница

[Pormonik]

Столкнулся с проблемой в матане...не могу решить задачу:
Вычислить $y^(10) функции $y = \frac{1+x}{\sqrt{x}}}$ ,используя формулу Лейбница.Помогите решить не понимаю эту тему(Заранее благодарен

[ShMaxG]

Смотрите - берем для начала формулу Лейбница. Запишите ее сюда. Затем подставляем туда то, что дано. Начинайте.

[Полосин]

В данном случае можно обойтись и без формулы Лейбница: $y=x^{-1/2}+x^{1/2}$.

[Pormonik]

а можете дать ссылку на формулу лейбница именно для этого случая?

[meduza]

Pormonik в сообщении #279052 писал(а):

а можете дать ссылку на формулу лейбница именно для этого случая?

Она для всех случаях одинакова. (Это почти Бином Ньютона, только степени меняются на соответствующие производные, а слева -- произведение вместо суммы.)

[Pormonik]

Значит используем эту формулу?http://www.pm298.ru/Math/f1812.JPG
И что куда подставлять,можно поточнее?

[ShMaxG]

Pormonik
Откройте учебник по матану (по которому вы учитесь) и прочитайте, что эта формула значит.

[meduza]

Pormonik
Ну например $u=1+x,\ v=\dfrac 1 {\sqrt{x}}$, там всего два члена в сумме и останется. Дальше сами, а то и так уже разжевали и в рот положили.

[Pormonik]

да вот в том и проблема что учебника нет...а в интернете ничего подходящего найти не могу

[ShMaxG]

Пусть даны две $n-раз$ дифференцируемые функции, $u(x)$ и $v(x)$. Тогда $\[{\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{u^{\left( k \right)}}\left( x \right){v^{\left( {n - k} \right)}}\left( x \right)} \] $, где, например, $\[{{u^{\left( k \right)}}}\] $ обозначает $k$-ю производную функции $u(x)$, а $\[C_n^k = \frac{{n!}} {{k!\left( {n - k} \right)!}}\] $ - биноминальный коэффициент. Функции $u(x)$ и $v(x)$ вам дали. Так что ваша работа - подставить все это дело в формулу и вычислить производные с коэффициентами. Но, как уже сказали, можно заметить, что сумма будет состоять только из двух слагаемых.

[meduza]

Pormonik в сообщении #279062 писал(а):

в интернете ничего подходящего найти не могу

Вы уже нашли всё, что надо. $C_n^k$ в формуле -- это биномиальный коэффициент: $C_n^k=\dfrac {n!}{n!(n-k)!}$. От $u$ производная легко считается, причем вторая и выше будет равна нулю. От $v$ считается тоже легко, если вспомнить (или вывести, что тоже не сложно) формулу для $(x^{\alpha})^{(n)}$).

[ShMaxG]

Пример:

Вычислить 3-ю производную функции $\[y = {x^2}\sin x\]$. Пусть $u(x)$=$x^2$, $v(x)$=$\sin{x}$. Применяем формулу:

$\[\begin{gathered} {\left[ {{x^2}\sin x} \right]^{\left( 3 \right)}} = C_3^0{x^2}{\left( {\sin x} \right)^{\left( 3 \right)}} + C_3^1\left( {{x^2}} \right)'{\left( {\sin x} \right)^{\left( 2 \right)}} + C_3^2{\left( {{x^2}} \right)^{\left( 2 \right)}}\left( {\sin x} \right)' + C_3^3{\left( {{x^2}} \right)^{\left( 3 \right)}}\sin x = \hfill \\ = {x^2}{\left( {\sin x} \right)^{\left( 3 \right)}} + 3\left( {{x^2}} \right)'{\left( {\sin x} \right)^{\left( 2 \right)}} + 3{\left( {{x^2}} \right)^{\left( 2 \right)}}\left( {\sin x} \right)' + {\left( {{x^2}} \right)^{\left( 3 \right)}}\sin x = \hfill \\ = - {x^2}\cos x - 3 \cdot 2x\sin x + 3 \cdot 2\cos x \hfill \\ \end{gathered} \]$

[Pormonik]

Большое спасибо друзья!!!!Буду думать!!

-- Сб янв 09, 2010 23:15:27 --

что то никак неполучается(не знаю с какого конца браться,сможете написать хотя бы пару строк,чтобы я понял алгоритм?

[ShMaxG]

Pormonik
А я вам задачу подобную полностью решил, собственно, формулу применил. Все отличие - в функциях. Не более.

-- Сб янв 09, 2010 23:39:29 --

Начинаем с выписывания всех слагаемых, затем живо находим биноминальные коэффициенты, а потом вычисляем производные. Вот и весь алгоритм, если хотите...

[Pormonik]

Сдаюсь,совершенно не понимаю как ее делать,огромное спасибо что уделили время!!!