Найдите индекс k

[daogiauvang]

Найдите все значения $k>2$, при каждом из которых существует непостоянная
арифметическая прогрессия $x_1\cdots, x_k$ и квадратный трехчлен $f(x)$, для которых $f(x_1)$,...,
$f(x_k)$ — геометрическая прогрессия?

[ewert]

Указание. Если $f(\alpha_k)$ -- это геометрическая прогрессия, то и $\varphi_k\equiv f(\alpha_{k+1})-f(\alpha_k)$ -- это тоже геометрическая прогрессия. С другой стороны, из квадратичности $f$ следует, что прогрессия $\varphi_k$ -- арифметическая, как и $\alpha_k$.

При каком наибольшем к-ве элементов арифметическая прогрессия может быть одновременно и геометрической?...

[daogiauvang]

Все понятно... у меня вопр:$ \phi_k $ одновременно и арифметическая прогрессия и геометрическая когда?
Допустим, что $ \phi_{k+1} = \phi_k + a$ то мы получили $\phi_k =\phi_{k+1}= const$
А дальше как решается задача?

[ewert]

Не понял вопроса. Константу не принято называть геометрической прогрессией.

[daogiauvang]

У меня вопрос такой: кроме постояной последовательности существтвует ли последовательность одновременно и арифметическая прогрессия и геометрическая.
Еще Ваш ответ это не решения.

[ewert]

daogiauvang в сообщении #279162 писал(а):

кроме постояной последовательности существтвует ли последовательность одновременно и арифметическая прогрессия и геометрическая.

Нет (если к-во членов больше двух), и по очень простой причине: непостоянная показательная функция в любом случае строго выпукла.

daogiauvang в сообщении #279162 писал(а):

Еще Ваш ответ это не решения.

Естественно. Это намёк. А решение должно быть Вашим.

[daogiauvang]

Думаю, что уже нашел ответ: не существует значений $k >2$

[ewert]

Существует. В чём различие между конечной последовательностью элементов -- и последовательностью их разностей?...

[f_student]

Скажите, откуда это указание: Если -- это геометрическая прогрессия, то и -- это тоже геометрическая прогрессия. С другой стороны, из квадратичности следует, что прогрессия -- арифметическая, как и . Нигде не могу найти?? Очень хочется посмотреть на доказательво этого указания....

[ewert]

f_student в сообщении #279800 писал(а):

Если -- это геометрическая прогрессия, то и -- это тоже геометрическая прогрессия.

Это очевидно. Разности соседних членов геометрической прогрессии образуют прогрессию не менее геометрическую. Просто выпишите эти разности.

f_student в сообщении #279800 писал(а):

С другой стороны, из квадратичности следует, что прогрессия -- арифметическая, как и .

Это -- чуть менее очевидно, но тоже достаточно банально. Если исходная прогрессия арифметическая (т.е. её члены линейно зависят от номера), а мы берём от неё некоторый многочлен некоторой степени, то после вычисления разностей зависимость от номера будет некоторым многочленом на единицу меньшей степени.

[jetyb]

Опять разбираем задачу из конкурса "Покори Воробьевы горы":
http://www.mk.ru/msu/ex/mathematics11.pdf

[ewert]

ну не упомнишь же всех конкурсов

[AD]

http://mk.ru/msu/?p=news

Не открывать до рождества 25го.
Правила, пункт I.1.о)

[AD]

Тема открыта.