Спектр нормального оператора

[carpediem]

Помогите, пожалуйста решить задачу:
Доказать, что если спектр нормального оператора действительный, то этот оператор самосопряженный.

В ней очень просто показывается что у оператора и сопряженного оператора совпадают точечный и непрерывный спектр, но я не очень понимаю, как из этого вывести, что операторы совпадают.

[id]

Вроде как вообще весь спектр совпадает, не только точечный и непрерывный ( $\sigma (T^*) = \{ \overline{\lambda} : \lambda \in \sigma(T) \}$).

[carpediem]

Ну, собственно, да. Просто в данном случае точечный и непрерывный еще по отдельности совпадают. А остаточного у нормального оператора вообще нет.
Только, к сожалению, я не очень понимаю, как этим воспользоваться, чтобы доказать равенство операторов.

[ewert]

А чем, собственно, разрешено пользоваться-то?

Вообще-то для нормального оператора есть спектральное разложение. По спектральной мере в комплексной плоскости. И если спектр (и соотв. мера) сосредоточен на вещественной оси -- то автоматически это разложение переходит в разложение некоторого самосопряжённого оператора.

[carpediem]

Вроде как задача не предполагает использования спектрального разложения, так как мы его еще не разбирали. Да и я эту науку еще не осваивала.

[carpediem]

Может подкинете хоть какие-нибудь идеи, как решать ее без спектрального разложения?
Никак не могу сдвинуться с мертвой точки