2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про ряды Фурье (ограниченность частичных сумм ряда)
Сообщение08.01.2010, 20:33 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Доказать, что последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty\displaystyle\frac{\sin kx}{k}$ равномерно ограничена на всей числовой прямой.

Я применил преобразование Абеля к сумме $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \sin kx$. Получилось, что надо оценить модуль суммы $|B_n(x)|=|\sum\limits_{k=1}^n\sin kx|\leq C_n$ такой константой $C_n$, чтобы $C_n=o(n)$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{ {C_n}}{n^2}$ сходился. Для $B_n(x)$ есть явное выражение $B_n(x)=\displaystyle\frac {\frac{n+1}{2}x \sin\frac n2x}{\sin{\frac x2}}$ но что-то оно не помогает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про ряды Фурье
Сообщение08.01.2010, 20:44 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Этот ряд суммируется в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про ряды Фурье
Сообщение08.01.2010, 20:48 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Я знаю :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про ряды Фурье
Сообщение08.01.2010, 21:02 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Тогда посмотрите в Фихтенгольце раздел "Явление Гиббса".

 Профиль  
                  
 
 Re: Про ряды Фурье
Сообщение08.01.2010, 22:34 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Похоже $C_n\geq an$, $a>0$. Значит надо не через преобразование Абеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про ряды Фурье
Сообщение08.01.2010, 23:41 
Заслуженный участник


03/01/09
1685
москва
Обозначим $b(x)=x-2\pi [\frac x{2\pi }],\sin kx=\sin k b(x).$Поэтому $\sum \limits _{k=1}^n\dfrac {\sin kx }k=\sum \limits _{k=1}^n\int \limits _0^{b(x)}\cos ktdt=\int \limits _0^{b(x)}\dfrac {\cos \frac {n+1}2t\sin \frac {nt}2}{\sin \frac t2}dt=\frac 12\int \limits _0^{b(x)}\dfrac {\sin \frac {(2n+1)t}2-\sin \frac t2}{\sin \frac t2}dt.$Этот интеграл оценивается по второй теореме о среднем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про ряды Фурье
Сообщение09.01.2010, 01:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #278612 писал(а):
Для $B_n(x)$ есть явное выражение $B_n(x)=\displaystyle\frac {\sin\frac{n+1}{2}x\, \sin\frac n2x}{\sin{\frac x2}}$ но что-то оно не помогает...

Да вроде можно выкрутиться и с Абелем, если чуть тщательнЕе. Если $n<\dfrac{1}{x}$, то, очевидно, $S_n<S_{1/x}<1$. Если же $n>\dfrac{1}{x}$, то избыточные слагаемые представимы примерно как $\left.\dfrac{B_k(x)}{k}\right|_{k=1/x}^n+\sum\limits_{k=1/x}^n\dfrac{B_k(x)}{k^2}$. Здесь первое слагаемое на нижнем пределе -- порядка единицы, а на верхнем -- не более чем порядка единицы, т.к. числитель на нижнем пределе не то чтоб достигал своего максимума, но, во всяком случае, отделён от нуля. Оставшаяся же сумма (второе слагаемое) оценивается грубо как $\sum\limits_{k=1/x}^n\dfrac{1}{k^2\sin{x\over2}}<\left(\dfrac{1}{x}\right)^{-1}\cdot\dfrac{1}{\sin{x\over2}}<\mathrm{const}$.

(Прошу прощенья за разгильдяйство с пределами и прочими нюансами, лень наводить марафет.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group