Пример всюду плотного множества

[Бабай]

Привет!

Я желаю удостовериться, что метрическое пространство $l_2$, состоящее из всевозможных последовательностей $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ действительных чисел, которые удовлетворяют условию $\sum_{k=1}^{\infty}{x_k}^2<\infty$, и снабжённое метрикой $d((x_k),(y_k))=\sqrt{\sum_{k=1}^{\infty}(y_k-x_k)^2}$, содержит счётное всюду плотное множество, а именно совокупность $s_2$ последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное число (своё для каждой последовательности) этих членов отлично от нуля. (Колмогоров, Фомин, стр. 66)

По сему нужно доказать, что любая последовательность в $l_2$ является предельной точкой для множества описанных выше последовательностей, то есть в любом шаре $B_r((x_k))$ положительного радиуса $r$ с центром в $(x_k)\in{}l_2$ имеются точки из $s_2$. В таких случаях требуется для данной точки $(x_k)\in{}l_2$ построить последовательность, сходящуюся к ней. Если удастся найти подходящую последовательность, то останется показать, что она сходится, и сходится именно к данному элементу из $l_2$.

Как теперь это всё доказать? Мне кажется, что мне прежде всего не до конца понятно, почему последовательности из $l_2$ надо приближать именно описанными выше последовательностями из $s_2$.

[gris]

Множество последовательностей $s_2$ счётно. Это надо доказать, а потом для произвольной последовательности из $l_2$ построить сходящуюся к ней в данной метрике последовательность из последовательностей из $s_2$. Я бы стал на каждом шаге увеличивать число ненулевых членов и количество десятичных знаков в каждом. Так и докажем сепарабельность $l_2$
Но вместо $s_2$ можно взять и другое счётное множество.

[Бабай]

Все последовательности из $s_2$ можно разбить на счётное число классов, собирая в один класс множество всех последовательностей с одинаковым номером последнего ненулевого члена. Ясно, что в каждом таком классе имеется счётное число элементов - для класса с номером $k$ таким элементом является какая-либо группа рациональных чисел $(x_1,....,x_k)$. Мощность множества таких групп равна мощности $\mathbb{Q}^k$, то есть имеем счётный класс для каждого $k$. Счётное объединение счётных множеств само счётно. Таким образом $s_2$ счётно.

Теперь к конструкции последоватеьности. Зададимся $\varepsilon>0$. Берём $(x_k)\in{}l_2$ и рассматрваем первый её член - $x_1\in\mathbb{R}$. Так как $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, мы относительно простой евклидовой метрики можем взять шар радиуса $r_1:=\sqrt{\frac{\varepsilon}{2n}}$, в котором найдутся рациональные точки ${a_1}^{(n)}$, такие что $|{a_1}^{(n)}-x_1|<\sqrt{\frac{\varepsilon}{2n}}$, то есть приближающие $x_1$. Продолжая так по индукции получим для члена $x_k$ точку ${a_k}^{(n)}$ из шара радиуса \sqrt{\frac{\varepsilon}{2n}}. Таким образом для каждого $k\leq{}n$, где $n$ - номер последнего ненулевого члена, можно записать $|{a_k}^{(n)}-r_k|<\sqrt{\frac{\varepsilon}{2n}}$, откуда, возводя в квадрат, получаем $({a_k}^{(n)}-r_k)^2=|{a_k}^{(n)}-r_k|^2<\frac{\varepsilon}{2n}$. Сходимость построенной последовательности следует из того, что для любого $\varepsilon>0$ можно найти номер $N_\varepsilon$ такой, что для всех $n>N_\varepsilon$ имеем $d^2((a_k)^{(n)},(x_k))=\sum_{k=1}^{\infty}({a_k}^{(n)}-x_k)^2<n\frac{\varepsilon}{2n}+\sum_{k=n+1}^{\infty}{x_k}^2<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$, так как $\sum_{k=n+1}^{\infty}{x_k}^2<\frac{\varepsilon}{2}$ для больших $n$ ввиду сходимости ряда $\sum_{k=1}^{\infty}{x_k}^2$.

Кажется так. Правильно?

[gris]

Построение последовательности изложено намного запутанно. Не прописано, откуда взялось $n$. Я бы начал так. Для произвольного элемента(последовательности) $(x_k)\in l_2$ построим последовательность элементов $(a_k^{(n)})\in z_2$ сходящуюся к $(x_k)$ по $n$ в метрике $ l_2$. Далее для каждого $n$ повторяем Ваши рассуждения. Это мелочи, конечно, но для ясности лучше постоянно напоминать смысл индексов $k$ и $n$.

[ewert]

Очень может быть, что и правильно, только трудно проверить -- чересчур уж долго. Стандартная схема такова.

Плотность $s_2$ в $l_2$ означает буквально следующее:

$(\forall\,\vec x\in l_2)\ (\forall\,\varepsilon>0)\ \exists\vec y\in s_2:\ \|\vec x-\vec y\|<\varepsilon$

(где $\vec x\equiv\{x_k\}_{k=1}^{\infty}$). Фиксируем $\vec x$ и $\varepsilon$. Выбираем $n$ так, чтобы было $\sum_{k=n+1}^{\infty}|x_k|^2<{\varepsilon^2\over2}$ (это возможно, т.к. ряд из квадратов по определению $l_2$ сходится). Далее, для каждого $k\leqslant n$ выбираем рациональное число $y_k$ так, чтобы было $|x_k-y_k|<{\varepsilon\over\sqrt{2n}}$, а при $k>n$ полагаем $y_k=0$. Тогда $\vec y\in s_2$, и при этом

$\displaystyle\|\vec x-\vec y\|^2=\sum\limits_{k=1}^n|x_k-y_k|^2+\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}|x_k|^2<n\cdot{\varepsilon^2\over2n}+{\varepsilon^2\over2}=\varepsilon^2.$

Вот и всё, притом дословно. Не надо возиться с последовательностями последовательностей, когда это не надо.

[Бабай]

gris в сообщении #278817 писал(а):

Построение последовательности изложено намного запутанно. Не прописано, откуда взялось $n$. Я бы начал так. Для произвольного элемента(последовательности) $(x_k)\in l_2$ построим последовательность элементов $(a_k^{(n)})\in z_2$ сходящуюся к $(x_k)$ по $n$ в метрике $ l_2$. Далее для каждого $n$ повторяем Ваши рассуждения. Это мелочи, конечно, но для ясности лучше постоянно напоминать смысл индексов $k$ и $n$.

Я кажется же вверху говорил об k-том члене $x_k$ последовательности с первыми n членов, которые не все нуль.

Ewert'у: Я в моём решении не хотел ещё говорить на языке бесконечномерных векторных пространств.

Спасибо.

[ewert]

Бабай в сообщении #278841 писал(а):

Я в моём решении не хотел ещё говорить на языке бесконечномерных векторных пространств.

Привет. А как Вы можете обсуждать бесконечномерные векторные пространства, не говоря на их языке?...

[Бабай]

Я Вас понимаю, но посмотрите в моём первом посте на какой странице в Колмогорове я нахожусь.

[gris]

Бабай, я согласен, что совершенно понятно, что означает $n$, но тем не менее именно буква $n$ у Вас нигде выше не встречается
Напрашивается хотя бы фраза "для произвольного $n$", хотя, повторюсь, это мелочи. Построение последовательности, может быть и правда излишне. Но доказательство-то ровно такое же.

[Бабай]

Цитата:

Напрашивается хотя бы фраза "для произвольного "

Аа понял...этого для ясности действительно не хватает. Учту, спасибо.

[ewert]

Бабай в сообщении #278856 писал(а):

Я Вас понимаю, но посмотрите в моём первом посте на какой странице в Колмогорове я нахожусь.

Какая разница. Ну замените в двух местах $\|\vec x-\vec y\|$ на $d(\vec x,\vec y)$; можно и стрелочки ибрать, если глаза мозолят, всё равно они только для красоты. Ровно ничего не изменится. У Вас просто крайне неуклюже всё изложено, и именно потому так вышло, что Вы навесили последовательности на последовательности.

[Бабай]

Ну если ровно ничего не изменится, то какой толк от Вашей красоты?

У меня такое впечатление, что меня тут отчитывают за то, что я просто не оформил мои выкладки так, как именно Вы считаете нужным. Ну навесил, ну и что? Ну сказал "последовательность последовательностей" (хотя прямо так я не говорил) вместо "последовательность векторов".

Захочу написать на чистовик, учту все Ваши советы по оформлению. Сдавать мне это всё всё-равно не надо. Если хотите сохранить пост для грядущих поколений, можете смело стереть все мои выкладки, и написать по-своему - "a proof from the book" или как оно там называется.

Кроме того Вам как-будто надо всегда иметь последнее слово. Тема была уже закончена - начался оффтоп.

Благодарю за помощь.

[gris]

Вы зря обижаетесь. По Вашему первоначальному доказательству сразу видно, что Вы разбираетесь в теме. И советы были направлены на то, чтобы к этому верному доказательству всего лишь добавить безупречности и простоты. Так, чтобы понять его мог средний студент. Если Вам просто нужно для себя ощутить сепарабельность пространства $l_2$, тогда да, это наведение глянца ни к чему. Но как показывает опыт, лучше всегда стремиться к идеальной строгости и максимальной простоте (или красоте).

[Бабай]

Поэтому я и говорю, что если бы Вы сказали "я ничё не могу разобрать, что там Вы написали", то я бы всерьёз задумался. Я бы и исправил всё, но кнопка правки пропала.

[gris]

А я вот для себя всегда делаю лучше, чем для других. Мне стыдно за такой эгоизм, но что поделать. Если готовлю завтрак, то стараюсь, чтобы всё было красиво и вкусно. Хотя ведь сожру через минуту всё равно. Если пишу что-нибудь для себя лично, то исправляю все ошибки и делаю изящными деепричастные обороты. Хотя никто не прочтёт.
Так что это Ваше личное дело искать более красивое решение или так оставить.