Построение фактор-кольца

[Yager]

Построить фактор-кольцо кольца целых гауссовых чисел $Z[i]$ по идеалу, порожденному элементом 1+2i. Является ли оно полем?


Прямо по определению $Z[i]/I=\left\{ (x+yi)+I|x,y \in Z\right\}$
Беру какое то число $z=a+bi$
Изходя из того что идеал порождается элементом 1+2i, то в фактор кольцо попадут следующие элементы $\ I, 1+i+I, 1+I , i+I $.Фактически это и есть фактор кольцо. Элементы строятся из общего вида $a+bi$, заменой а=1 и заменой b на множество остатков от деления чисел на 2, тоесть на множество {0,1}.


Вопрос состоит в том будет ли это фактор множество верным, или же элементы будут другие в фактор кольце?!

[passs]

Нет, элементы будут другие.
Если $x = y$ в факторкольце ($x, y \in Z[i]$), то $x - y = a (1 + 2i)$, где $a \in Z[i]$.
Тогда $(x-y)(1-2i) = 5a$, дальше можно просто поработать с этим равенством как с равенством для целых чисел и понять, что в факторкольце ровно 5 элементов.