Идеал кольца

[sasha_vertreter]

Добрый день, помогите пожалуйста понять идеал кольца и факторкольцо.

Сначала про идеалы:

Я знаю, что идеал - это подмножество $I$ множества $R$ кольца, в котором выполняются 3 аксиомы:

1. если $a,b \in I $, то и $a+b \in I$
2. если $a \in I $, то и $-a \in I$
3. если $a \in I $ и $r \in R $, то и $ra$ и $ar \in I$.

меня смущает 3. аксиома, получается, что для того, чтобы построить идеал мы умножаем элементы кольца на элементы идеала, который еще не построили.

то есть какой порядок нахождения идеалов в кольце, например в Z или в Q[x]?

(я хотел бы упомянуть, что понимаю, что, например, I=[5] есть идеал Z и это множество произведений всех целых чисел на 5 - но я понимаю это больше интуитивно и в Q[x] интуиция уже не очень помогает).

Спасибо!

[id]

Всякое евклидово кольцо - кольцо главных идеалов.

[sasha_vertreter]

id в сообщении #278426 писал(а):

Всякое евклидово кольцо - кольцо главных идеалов.

что означает, что, если мы доказали, что кольцо - евклидово, то все его идеалы порождены одним элементов, что справедливо для $\mathbb Q[x]$ и $\mathbb Z$, как я понимаю.

но тем не менее, если я хочу найти идеал в $ \left\langle M_2(\mathbb C),+,*\right\rangle $ , другими словами в общем случае, без всяких характеристик кольца, сосредоточившись только на идеалах, тогда как?

[id]

Если Вы про кольцо матриц, то там только тривиальные двусторонние идеалы ( насчет односторонних полное описание не помню, но нетривиальные односторонние есть ).

Доказывается как-то так, от противного. Сначала берем данную ненулевую $X \in I$. Потом подбираем ( Гаусс ) такие $A,B$ чтобы выполнялось $AXB = E_{11}+ ... + E_{kk} \in I$, где $E_{ij}$ - матричная единица с единицей на $i,j$; $k<n$.

Далее пользуемся тем, что идеал двусторонний, получаем то, что $E \in I$.

[RIP]

sasha_vertreter в сообщении #278423 писал(а):

Я знаю, что идеал - это подмножество $I$ множества $R$ кольца, в котором выполняются 3 аксиомы...

Маленькая поправка: идеал --- это непустое подмножество... [дальше по тексту]. К слову, первые два условия можно заменить одним: $a,b\in I\quad\Rightarrow\quad a-b\in I$.

id в сообщении #278447 писал(а):

Потом подбираем ( Гаусс ) такие $A,B$ чтобы выполнялось $AXB = E_{11}+ ... + E_{kk}$

По-моему, проще без Гаусса (повторюсь: по-моему). Надо просто поумножать слева и справа на матричные единицы и посмотреть, что получится, а затем учесть, что можно брать любые линейные комбинации (топому что есть замкнутость относительно умножения на скалярные матрицы и сложение).

[sasha_vertreter]

Спасибо!
Но все это связано с конкретными,заданными кольцами.

Поэтому я хотел бы уточнить свой вопрос: если у нас есть абстрактное (конечное) кольцо $<R, +, *>$ и надо найти все его идеалы - какой в этом случае будет порядок?

Может быть, зная, что идеал - есть подкольцо, найти все подкольца и проверить являются ли они идеалами? или...